- •1. Понятие модели.
- •1.1. Модели и моделирование. Классификация моделей
- •В настоящее время для постижения истины существует 3 пути:
- •1.2. Классификация моделей
- •1.3. Адекватность моделей
- •2. Математические модели и методы их расчета
- •2.1. Математические модели.
- •2.1. Понятие операционного исследования
- •2.3. Этапы построения математических моделей
- •Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:
- •2.4 Математические оптимизационные модели.
- •2.4. Необходимые сведения из матричной алгебры
- •2.5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •3. Простейшие оптимизационные задачи.
- •3.1. Экстремумы функции одной переменной.
- •Экстремумы функции нескольких переменных.
- •4. Математические модели экономических задач.
- •4.1. Транспортная задача
- •4.2 Задача об использовании ресурсов.
- •4.3. Задача о диете.
- •4.4. Общая формулировка задачи линейного программирования
- •Стандартная задача линейного программирования.
- •Каноническая задача линейного программирования.
- •Общая задача линейного программирования.
- •5. Графический метод решения задач линейного программирования.
- •5.1. Выпуклые множества
- •5.2 Геометрический смысл решений систем неравенств.
- •5.3. Графический метод решения задач линейного программирования. Пример.
- •5.4. Геометрический метод решения задачи. Общий случай.
- •6.Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
- •6.1. Выпуклые многогранники.
- •6.2.Симплекс-метод. Пример.
- •6.3.Симплекс метод. Общий случай.
- •Симплекс-таблицы. Пример.
- •7.Двойственность в линейном программировании.
- •7.1. Двойственные задачи линейного программирования.
- •7.2. Теоремы двойственности..
- •7.3. Анализ чувствительности задачи линейного программирования..
- •Решение транспортной задачи.
- •7.1 Особенности транспортной задачи.
- •7.2. Опорный план транспортной задачи
- •7.3. Метод потенциалов.
- •8.Задачи нелинейного программирования.
- •8.1. Общая постановка задачи нелинейного программирования.
- •8.2. Задачи нелинейного программирования с линейной целевой функцией и нелинейными ограничениями.
- •8.3. Задачи нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями.
- •8.4. Метод множителей Лагранжа.
- •Элементы теории игр.
- •9.1.Основные понятия теории игр
- •8.3. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.
8.Задачи нелинейного программирования.
8.1. Общая постановка задачи нелинейного программирования.
Если в оптимизационной задаче критерий качества или ограничения (или и то и другое) являются нелинейными функциями, то оптимизационную задачу называют задачей нелинейного программирования. Таким образом, задача нелинейного программирования формулируется следующим образом. Найти значение , доставляющее критерию качества f(x) наибольшее (наименьшее) значение и удовлетворяющее ограничениям х М.
Задачи нелинейного программирования значительно сложнее задач линейного программирования и в настоящее время нет общих методов их решения. В отличие от
задач линейного программирования в задачах нелинейного программирования экстремум может достигаться не только в граничных точках области допустимых решений, но и внутри области. При этом экстремум может быть локальным, тогда встает задача определения глобального экстремума критерия качества.
Напомним, что если критерий качества f является дифференцируемой функцией, то необходимое условие экстремума функции f в точке :
=0, j=1,…,n. (1)
Рассмотрим некоторые особенности задач нелинейного программирования на ряде примеров.
8.2. Задачи нелинейного программирования с линейной целевой функцией и нелинейными ограничениями.
Пусть имеем задачу нелинейного программирования
, (2)
(3)
(4)
Выделяя полный квадрат в первом неравенстве системы (3), получим неравенство , которому удовлетворяет множество точек, лежащих внутри круга с центром в (1;2) и радиусом 3.
Так как , то наибольшее значение (2) может принимать только на границе области допустимых значений.
Рассмотрим геометрический способ решения задачи.
Построив множество допустимых значений М и линии уровня критерия качества
при С=4 и С=8, мы видим, что линия уровня с наибольшим значением С будет
к
у
х
определим из условия касания окружности и
п рямой: они имеют только одну точку пересечения.
Рассмотрим систему уравнений
А
П одставляя х=-2у+С в первое уравнение, получим
М
Т ак как уравнение (5) должно иметь единственное
р ешение, то дискриминант его должен быть
р авен нулю. Поэтому
С=8
р
С=4
Так как мы должны максимизировать f, то выбираем наибольшее значение С= .
При этом, решая (5), найдем у=2+1,2 , а х=С-2у=1+ .