2.6. Ізопроцеси в ідеальних газах

Щоразу, застосовуючи на практиці методи термодинаміки (розрахунки теплових двигунів, холодильних машин тощо) досить часто доводиться мати справи з ізопроцесами в газах, тобто з такими процесами, під час перебігу яких один з основних параметрів ( , чи ) і маса газу не змінюються. Розглянемо деякі з них.

І зохорний процес – процес, що відбувається за постійного об’єму газу. У координатах Р-V він має вигляд прямої, що називають ізохорою (рис. 2.3а). Оскільки , то , і для ізохорного процесу рівняння (2.14) набирає вигляду:

(2.16)

Тобто уся теплота, отримана системою в ізохорному процесі, витрачається на зміну її внутрішньої енергії.

П ри зміні температури газу від Т₁ до Т₂ зі збереженням об’єму зміна його внутрішньої енергії та кількість наданої йому теплоти може бути виражена рівнянням:

(2.17)

а теплоємність одного моля за постійного об’єму:

(2.18)

Ізобарний процес – процес, що відбувається за постійного тиску. У координатах він зображується прямою, названою ізобарою (рис. 2.3б). На основі рівняння Мендєлєєва-Клапейрона при знаходимо:

З урахуванням цього, а також рівнянь (2.10) та (2.16), рівняння (2.14) набуває вигляду:

( 2.19)

З цього рівняння знаходимо зв'язок між молярною теплоємністю газу за постійного тиску і його молярною теплоємністю при постійному об'ємі : (2.20)

Це співвідношення називають рівнянням Р. Майєра.

Зі співвідношення знаходимо:

. (2.21)

З рівняння (2.21) випливає, що універсальна газова стала R чисельно дорівнює роботі, виконаній одним молем ідеального газу під час його ізобарного нагрівання на один градус. Робота, виконана в ізобарному процесі 1–2:

(2.22)

Ізотермічний процес – процес, що відбувається за постійної температури. У координатах Р-V він зображується рівнобічною гіперболою (рис. 2.3в), яку називають ізотермою. Оскільки при , і то рівняння першого закону термодинаміки для цього процесу набуває вигляду:

(2.23)

Н а основі рівняння Мендєлєєва-Клапейрона знаходимо:

(2.24)

У ся теплота , яка була надана газу в ізотермічному процесі, витрачається на здійснення газом роботи проти зовнішніх сил:

(

В

2.25)

В

Т

Г

еплоємність газу в ізотермічному процесі нескінченно велика, оскільки , а .

Адіабатний процес – процес, що відбувається без теплообміну між системою та зовнішнім середовищем. Його широко застосовують у циклах двигунів внутрішнього згоряння, холодильних установках тощо. Для такого процесу , і рівняння першого закону термодинаміки має вигляд:

(2.26)

Робота в адіабатному процесі виконується за рахунок внутрішньої енергії системи (газу). На основі рівняння Мендєлєєва–Клапейрона знаходимо:

Підставивши це значення в рівняння (2.26), отримаємо:

Оскільки , то

Р озділимо це рівняння на , позначивши , отримаємо:

(2.27)

Приймаючи , що в не дуже великому інтервалі звичайних температур практично вірно, проінтегруємо останнє рівняння й отримаємо:

з відки:

(2.28)

Це рівняння називають рівнянням Пуассона, а лінію, що зображує адіабатний процес, називають адіабатою. У координатах вона представлена на рис. 2.3 г.

Р озділивши рівняння на і спотенціювавши результат ділення, отримаємо:

(2.29)

Я кщо за рівнянням Мендєлєєва–Клапейрона виразити тиск і об'єм і підставити їх послідовно в рівняння (2.28) і (2.29), то після незначних математичних перетворень можна одержати рівняння адіабати, виражені через параметри і :

(2.30)

Р оботу , яка виконується газом в адіабатному процесі 1-2, знайдемо на основі рівняння (2.26):

(2.31)

На основі рівнянь (2.20) і (2.27) знаходимо:

(2.32)

П ідставимо це значення у рівняння (2.31) і знайдемо:

(2.33)

Р озділивши й помноживши праву частину цього рівняння на і з огляду на рівняння Мендєлєєва–Клапейрона, отримаємо:

(2.34)

На основі рівнянь адіабат і знаходимо:

Підставивши ці значення в рівняння (2.33), отримаємо:

(2.35)

Політропні процеси – це процеси, при протіканні яких теплоємність тіла залишається постійною. Одержимо рівняння політропи на основі першого закону термодинаміки. Якщо з рівняння Клапейрона-Мендєлєєва виразити і підставити в рівняння , то з урахуванням рівняння , після деяких перетворень, можна отримати:

І нтегруючи це рівняння, отримаємо:

(2.36)

де

(2.37)

У

(2.38)

рівнянні (2.37) – молярна теплоємність в умовах розглянутого процесу. Рівняння (2.36) і є шукане рівняння політропи.

І з рівняння (2.37) знаходимо:(2.38)

С користавшись співвідношеннями (2.20), (2.32) і (2.38), одержимо

(2.39)

де – показник політропи, – показник адіабати.

На основі рівнянь (2.36) – (2.39) легко показати, що рівняння політропи охоплює усі раніше описані ізопроцеси. Так, при . За цих умов рівність (2.36) виконується при , що відповідає ізохорному процесу. Якщо , то і ,що відповідає ізобарному процесу. Рівняння (2.36) переходить у рівняння ізотерми при . При цьому відповідно до рівняння (2.38), , що відповідає ізотермічному процесу. Нарешті, при заміні на теплоємність і політропа (2.36) переходить в адіабату (2.28).

Робота, виконана ідеальним газом у процесі .

Оскільки , то , а , де і – тиск й об'єм газу на початку процесу.

Тоді:

(2.40)