6.4. Закон розподілу Максвелла–Больцмана

Закон розподілу Больцмана являє собою закон розподілу молекул за потенціальними енергіями, закон розподілу Максвелла – за кінетичними. Очевидно, що об'єднавши ці два закони, можна одержати закон розподілу молекул за повними енергіями. Таке об'єднання можливе на основі теореми про ймовірності складної події.

Згідно з рівнянням (6.9), кількість молекул, що потрапляють у межі об'єму у точці з координатами , дорівнює:

д е – число молекул в одиниці об'єму. З урахуванням закону Максвелла число молекул, компоненти швидкості яких лежать у межах від до , а координати в межах від до буде дорівнювати:

(6.22)

Тут – нормувальний множник, що дорівнює . У рівнянні (6.22) потенціальна ( ) і кінетична ( ) енергії, а отже, і повна енергія можуть набувати безперервного ряду значень. Якщо повна енергія частинки може набувати лише дискретного ряду значень: (наприклад, внутрішня енергія атома), то розподіл Максвелла–Больцмана має вигляд:

(6.23)

де – число частинок у стані з енергією , – коефіцієнт пропорційності, що повинен задовольняти умову:

де – загальне число частинок у розглянутій системі. Підставивши це значення у рівняння (6.23), отримаємо остаточний вираз закону розподілу мікрочастинок за дискретними значеннями енергії:

( 6.24)

6.5. Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності

Числом ступенів вільності тіла (або системи) називають найменше число незалежних змінних, які необхідно задати для того, щоб повністю визначити положення тіла в просторі. Так, матеріальна точка, що вільно рухається в просторі, має три ступені вільності поступального руху. Система, що складається з двох матеріальних точок з жорстким зв'язком, має три ступені вільності поступального руху, що визначають положення центра інерції системи в просторі, і два ступені вільності обертального руху, що визначають кути повороту системи відносно осей 0y та 0z (рис 6.5). Ясно, що не має сенсу розглядати обертальний рух точки навколо осі 0x; якщо ми виберемо для розгляду системи молекулу газу, то майже вся маса атома буде зосереджена в ядрі, розміри якого дуже малі у порівнянні з розмірами молекули, тому момент інерції атома відносно його головної осі інерції буде нескінченно малим, і атом умовно можна розглядати як матеріальну точку.

Система, що складається з двох матеріальних точок із пружним зв'язком, має 6 ступенів вільності: 3 ступені вільності поступального руху, 2 ступені вільності обертального руху та 1 ступінь вільності коливального руху, що визначає відносний зсув атомів у молекулі.

Система, що складається з трьох матеріальних точок із пружним зв'язком, розташованих не на одній прямій, має 9 ступенів вільності: три ступені вільності поступального руху, три ступені вільності обертального руху та три ступені вільності коливального руху.

С истема, що складається з частинок із пружним зв'язком, розташованих не на одній прямій, має ступенів вільності: 3 ступені вільності поступального руху, 3 ступені вільності обертального руху та ступенів вільності коливального руху.

Середня кінетична енергія поступального руху молекули , і на кожен ступінь вільності поступального руху молекули в середньому припадає однакова кінетична енергія що дорівнює:

( 6.25)

Обертальний та коливальний рухи молекул також вносять свій внесок у кінетичну енергію молекули. У класичній статистичній фізиці виводиться закон рівномірного розподілу кінетичної енергії за ступенями вільності, який стверджує, що для статистичної системи в стані термодинамічної рівноваги на кожен ступінь вільності молекули в середньому припадає однакова кінетична енергія, що дорівнює . Якщо молекула має ступенів вільності, то її середня кінетична енергія: (6.26)

Коливальний рух молекули вносить вклад як у кінетичну енергію молекули, так і у потенціальну. Згідно з теорією коливального руху у випадку гармонічних коливань середня за часом потенціальна енергія коливального руху дорівнює середній кінетичній. Тоді на кожен ступінь вільності коливального руху молекули припадає повна енергія:

( 6.27)

Т аким чином, з урахуванням усіх видів руху середня енергія молекули дорівнює:

(6.28)

де – число ступенів вільності відповідного виду руху.

Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності (а також всі висновки, пов'язані з ним) є наближеним і порушується в тих випадках, коли стають суттєвими квантові ефекти, а також у випадку ангармонічного коливального руху.