- •Молекулярна фізика та термодинаміка
- •I. Основні положення молекулярної фізики і термодинаміки
- •1.1. Молекулярна фізика і термодинаміка, їх завдання та методи
- •1.2. Макроскопічні параметри системи та їх мікроскопічне тлумачення
- •1.3. Основні газові закони. Рівняння стану ідеального газу
- •1.4. Тиск газу з погляду молекулярно-кінетичної теорії
- •1.5. Молекулярно-кінетичне тлумачення температури
- •II. Перший закон термодинаміки
- •2.1. Вступ
- •2.2. Внутрішня енергія термодинамічної системи
- •2.3. Теплота і робота як форми передачі енергії
- •2.4. Теплоємність
- •2.5. Перший закон термодинаміки
- •2.6. Ізопроцеси в ідеальних газах
- •III. Другий закон термодинаміки
- •3.1. Можливості першого закону термодинаміки
- •3.2. Колові процеси
- •3.3. Цикл Карно
- •3.4. Нерівність Клаузіуса
- •3.5. Ентропія і її властивості
- •3.6. Другий закон термодинаміки
- •3.7. Статистичний характер другого закону термодинаміки
- •IV. Термодинамічні потенціали
- •4.1. Загальні відомості
- •4.2. Внутрішня енергія
- •4.3. Енергія Гельмгольца
- •4.4. Ентальпія
- •4.5. Енергія Гіббса
- •V. Третій закон термодинаміки
- •VI. Статистичні розподіли
- •6.1. Короткі відомості з теорії ймовірностей
- •6.2. Закон розподілу Больцмана
- •6.3. Закон розподілу Максвелла
- •6.4. Закон розподілу Максвелла–Больцмана
- •6.5. Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності
- •6.6. Внутрішня енергія й теплоємність ідеального газу
- •VII. Явища переносу в газах
- •7.1. Середня довжина вільного пробігу молекули
- •7.2. Дифузія в газах
- •7.3. Внутрішнє тертя з газах
- •7.4. Теплопровідність газів
- •VIII. Реальні гази
- •8.1. Відхилення реальних газів від ідеальності
- •8.2. Рівняння Ван-дер-Ваальса
- •8.3. Ізотерми реальних газів. Фазові переходи
- •8.4. Критична точка. Закон відповідних станів
- •8.5. Внутрішня енергія реального газу
- •8.6. Ефект Джоуля–Томсона
- •8.7. Зрідження газів та отримання низьких температур
- •IX. Рідини
- •9.1. Деякі властивості та будова рідини
- •9.2. Поверхневий натяг рідини
- •9.3. Поверхнево-активні речовини. Адсорбція
- •9.4. Змочування
- •9.5. Тиск викривленої поверхні. Капілярні явища
- •Х. Кристали
- •10.1. Особливості кристалічного стану
- •10.2. Класифікація кристалів
- •10.3. Фізичні типи кристалів
- •10.4. Дефекти в кристалах
6.3. Закон розподілу Максвелла
Т еплова (середньоквадратична) швидкість являє собою деяку середню характеристику теплового руху всієї сукупності мікрочастинок. Насправді різні частинки рухаються з різними швидкостями, й можна порушити питання про розподіл мікрочастинок за швидкостями. Максвелл теоретично вирішив задачу про розподіл молекул ідеального газу за швидкостями поступального руху в стані теплової рівноваги. Він показав, що ймовірність того, що деяке число молекул із загального числа молекул має швидкості, що лежать в інтервалі від до , виражається співвідношенням:
(6.12)
де – функція розподілу молекул за швидкостями; a – розглянутий інтервал швидкостей.
Вид функції можна встановити на прикладі руху молекул ідеального газу в однорідному полі тяжіння. Спочатку вивчимо закон розподілу молекул за значеннями вертикальної складової швидкості . Число молекул зі швидкостями в інтервалі , що перебувають у нескінченно тонкому (товщини ) шарі газу на висоті (див. рис 6.2), дорівнює:
де – концентрація молекул газу на висоті .
Рухаючись як вільні, ці молекули із часом перейдуть на деяку висоту , зайнявши шар товщини . При цьому їхні швидкості будуть перебувати в інтервалі від до . Але це одне й те саме число молекул. Якщо прийняти, що , то незмінність числа цих молекул повинна виражатися рівністю:
(6.13)
де – концентрація молекул газу на висоті . При русі у полі тяжіння горизонтальні складові швидкості ( і ) не змінюються, а зміна визначається законом збереження енергії, відповідно до якого:
(6.14)
Д иференціюючи цю рівність при обраних постійних значеннях та , одержуємо:
З а час молекула на висоті пройде шлях , а на висоті – шлях . Виключивши звідси , одержимо:
(6.15)
Перемноживши почленно рівняння (6.14) і (6.15), знаходимо:
З урахуванням останнього рівняння (6.13) спрощується:
В икориставши закон розподілу Больцмана у вигляді рівняння (6.7), одержимо:
На основі закону збереження й перетворення енергій знаходимо:
Тоді:
Звідси випливає, що:
(6.16)
У стані теплової рівноваги рух молекул газу рівноймовірний у всіх напрямках. Оскільки ймовірність складної події, що складається із простих незалежних подій, дорівнює добутку ймовірностей цих подій, то повна функція розподілу молекул за швидкостями буде мати вигляд:
П означивши и прийнявши, що одержимо:
(6.17)
На підставі рівнянь (6.12) та (6.17) отримаємо:
(6.18)
Добуток являє собою об'єм нескінченно малого паралелепіпеда, побудованого в координатній системі простору швидкостей навколо точки з векторною координатою . Оскільки тепловий рух молекул газу рівноймовірний у всіх напрямках, то для обчислення необхідно просумувати всі такі елементарні об'єми, що перебувають на відстані . Ці об'єми заповнять кульовий шар між двома нескінченно близькими сферами з радіусами та . Об'єм такого шару дорівнює . Таким чином, число молекул зі швидкостями в інтервалі значень між та дорівнює:
(6.19)
де – деяка постійна, що не залежить від швидкості молекул. Знайдемо вираження для цієї величини . Оскільки в інтервал швидкостей від 0 до ввійдуть всі молекули, то очевидно, що ,
З робивши заміну змінних та скориставшись значенням
знайдемо:
З урахуванням цього закон розподілу Максвелла можна записати у вигляді:
(6.20)
Графік функції (6.20) збігається з гауссовою кривою розподілу випадкової велиини (рис. 6.3), а щільність імовірності розподілу молекул за швидкостями представлена на рис. 6.4.
Як видно з рис. 6.4, при кожній температурі є деяка швидкість , за якої щільність ймовірності максимальна. Цю швидкість називають найбільш імовірною. Дослідивши рівняння (6.19) на екстремум, одержимо:
( 6.21)
Скориставшись законом розподілу Максвелла, знайдемо середньоарифметичну швидкість молекул:
Таким чином, стан газу можна охарактеризувати однієї із трьох швидкостей:
де , та – тиск, об'єм і маса газу, – питомий об'єм газу.
Співвідношення між швидкостями має такий вигляд:
С користавшись рівнянням (6.21), закон розподілу Максвелла (6.20) можна подати через вірогідну швидкість:
Подібно до розподілу Больцмана, розподіл Максвелла, виведений тут для одноатомного ідеального газу, може бути отриманий шляхом більш загальних теоретичних міркувань і має універсальний характер. Однак він отриманий на підставі класичної механіки, і його справедливість обмежена квантовими явищами.
Закон розподілу Максвелла підтверджується різними експериментальними методами, з якими студенти можуть ознайомитися у зазначеному раніше навчальному посібнику [1].