VI. Статистичні розподіли

6.1. Короткі відомості з теорії ймовірностей

Як указувалося раніше, макроскопічним системам, що складаються з дуже великої кількості мікрочастинок, властиві статистичні закономірності. Статистичні закономірності проявляють імовірнісний характер і вивчаються теорією імовірності. Розглянемо деякі положення цієї теорії.

П рипустимо, що якась характерна для макроскопічної системи величина може мати дискретні значення: . Нехай з дуже великого числа вимірів величини вимірів дали результат , вимірів –– результат вимірів –– результат і т.д.. Величину називають абсолютною частотою появи результату (який надалі будемо йменувати і-ою подією), величину –– відносною частотою появи і-ої події, а межу цієї величини, що виходить при прагненні до нескінченності:

(6.1)

називають імовірністю настання і-ої події.

Подіями в теорії імовірності називають будь-які явища, у скоєнні яких ми сумніваємося: стануться вони чи ні.

Подію називають випадковою, якщо в результаті випробування вона може як відбутися, так і не відбутися. Імовірність випадкової події є кількісною мірою очікуваної можливості її появи.

Сумою двох подій А і В називають подію С , яка зумовлена появою або події А, або події В (С=А+В).

Добутком подій А і В називають подію С, котра зумовлена появою як події А, так і події В (С=АВ).

Події називаються єдино можливими, якщо за даного дослідження одна з них, байдуже, яка саме, обов'язково повинна відбутися. Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу будь-якої з решти.

Подія, що наступає під час будь-якого дослідження, називається достовірною. Подія, що не настає ніколи, які б дослідження не проводили, називається неможливою. Ймовірність достовірної події дорівнює 1, ймовірність неможливої події – 0.

У теорії ймовірностей доводяться теореми про додавання й множення ймовірностей, які наводяться тут без доказу.

Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

( 6.2)

Й мовірність добутку двох подій А й В дорівнює добутку ймовірності однієї з них Р(А) на ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша подія відбулася:

(6.3)

Й мовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей:

(6.4)

Звідси випливає, що імовірність складної події, яка складається із сукупності простих незалежних подій, дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

6.2. Закон розподілу Больцмана

Розглянемо закон розподілу мікрочастинок за потенціальними енергіями на прикладі молекул ідеального газу, що перебуває в полі тяжіння. Нехай сили поля спрямовані уздовж осі (рис. 6.1). Очевидно, що тиск газу в різних точках уздовж осі буде різним. Виберемо дві площини , орієнтовані перпендикулярно осі z і які розташовані одна від одної на відстані . Якщо тиски газу на обох площинах рівні Р і , то різниця тисків повинна дорівнювати сумарній силі, що діє на частинки газу, вміщені в об'ємі паралелепіпеда з основою і висотою , віднесеній до площі основи:

де – концентрація молекул газу в цьому об'ємі, а – сила, що діє на одну молекулу газу в точці з координатою .

Сила пов'язана з потенціальною енергією молекули співвідношенням . Таким чином, додатковий тиск .

В важаючи температуру розглянутого ідеального газу у всіх точках однаковою, на підставі рівняння Мендєлєєва–Клапейрона знаходимо, що . Співставляючи два останні рівняння для , отримаємо:

І нтегрування цього виразу з наступним потенціюванням дасть такий результат:

(6.5)

Тут та – концентрації молекул газу в станах з умовно прийнятою нульовою потенціальною енергією й потенціальною енергією відповідно.

Рівняння (6.5) називають законом розподілу Больцмана. Це рівняння може бути отримане шляхом більш загальних теоретичних міркувань і має універсальний характер. Воно може бути застосовано до будь-яких систем мікрочастинок, які розташовані в різних потенціальних полях.

С тосовно до поля тяжіння Землі на невеликій висоті рівняння (6.5) набирає вигляду:

(6.6)

де – маса молекули.

Для двох різних станів з потенціальними енергіями та одержимо:

(6.7)

Оскільки тиск газу зв'язаний з його концентрацією співвідношенням , то на підставі рівнянь (6.6) знаходимо:

( 6.8)

Т ут і тиски газу на поверхні Землі та на висоті відповідно, – молярна маса газу. Рівняння (6.8) називають барометричною формулою. У випадку значних висот потенціальну енергію потрібно прийняти рівною

Тоді рівняння (6.6) і (6.8) набирають вигляду:

(6.9)

(6.10)

Тут – відстань від центра Землі до даної точки простору, та – концентрація молекул і тиск газу на нескінченно великих відстанях від Землі.

З рівняння (6.10) випливає, що концентрація молекул газу на нескінченно великій висоті над Землею:

(6.11)

відмінна від нуля. Це суперечить досвіду, оскільки земна атмосфера не перебуває в стані теплової рівноваги. Закон розподілу Больцмана знаходить дослідне підтвердження. Як приклад радимо студентам самостійно розглянути досліди Перрена з визначення числа Авогадро за [1], [2], [3].