13. Дробный факторный эксперимент. Определение числа опытов, построение матрицы.

Идея дробного факторного эксперимента состоит в том, что один или несколько факторов изменяют в процессе эксперимента так, как изменялось бы произведение нескольких оставшихся факторов в полном факторном эксперименте, т.е. 1 или несколько факторов равны произведению нескольких факторов.

2^к-р – тип дробно-факторного эксперимента, р – число факторов, приравненных к произведению других факторов.

План эксперимента, преду­сматривающий реализацию половины экспериментов полного факторного эксперимента, называют полурепликой. При увеличении числа факторов (k>3) возможно применение реплик большей дробности. Дробной репликой называют план эксперимента, являющийся ча­стью плана полного факторного эксперимента.

Построение регулярной дробной реплики или проведение дробного  факторного эксперимента (ДФЭ) типа 2^k–p предусматривает отбор из множества k факторов k–p основных, для которых строится план ПФЭ. Этот план дополняется р столбцами, которые соответствуют остальным факторам. Каждый из этих столбцов формируется по специальному правилу, а именно, получается как результат поэлементного умножения не менее двух и не более k–p определенных столбцов, соответствующих основным факторам. Иначе говоря, в  дробных репликах p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия. Именно такое построение матрицы планирования и позволяет обеспечить ее симметричность, ортогональность и нормированность.

Таблица 3.2

Матрица планирования				Вектор результатов
x0	x1	x2	x3	y
+	–	–	+	y1
+	–	+	–	y2
+	+	–	–	y3
+	+	+	+	y4

Правило образования каждого из p столбцов ДФП называют генератором плана. Каждому дополнительному столбцу соответствует свой генератор (для плана типа 2^{k– p} должно быть задано p различных генераторов). Генератор задается как произведение основных факторов, определяющее значение элементов соответствующего дополнительного столбца матрицы планирования. Примером записи генератора для плана 2^3–1 служит выражение x₃ = x₁x₂, табл. 3.2. Матрица планирования ДФП типа 2^{k– p} содержит k + 1 столбец и N = 2^{k– p} строк.

14. Дробный факторный эксперимент. Смешивание коэффициентов.

Идея дробного факторного эксперимента состоит в том, что один или несколько факторов изменяют в процессе эксперимента так, как изменялось бы произведение нескольких оставшихся факторов в полном факторном эксперименте, т.е. 1 или несколько факторов равны произведению нескольких факторов. В силу такого приравнивания фундаментальные свойства плана эксперимента сохраняются.

2^к-р – тип дробно-факторного эксперимента, р – число факторов, приравненных к произведению других факторов. Применение дробных реплик ведет к смешиванию оценок параметров модели, а их построение предполагает исключение из рассмотрения некоторых взаимодействий факторов. Оценки смешиваются в связи с тем, что каждый из р столбцов дробного факторного плана совпадает с некоторым произведением основных факторов.

Запись плана в виде 2^k–p не дает полной характеристики регулярной дробной реплики, так как основные эффекты можно приравнять к различным эффектам взаимодействия.

Правило смешивания, определяющее коррелированные основные эффекты и эффекты взаимодействия, удобно описывать с помощью определяющего контраста реплики. Определяющий контраст полуреплики получается путем умножения генерирующего соотношения на его же левую часть, а так как для любой кодированной переменной x_i²=1, то левая часть формулы определяющего контраста всегда равна единице и обозначается I.

ПРИМЕР: в частности, для ДФП типа 2^3–1 и генераторе x₃ = x₁x₂ имеет место определяющий контраст I = x₁x₂x₃ (генератор умножается на переменную x₃, следовательно, x₃ x₃ = I =  x₁ x₂ x₃).

Чтобы определить, с какими параметрами смешана оценка коэффициента данного фактора, следует умножить обе части определяющего контраста на этот фактор. Учитывая равенство x_i²=1, получим порядок смешивания оценок коэффициентов при использовании конкретного плана. В рассматриваемом примере для плана 2^3–1 и определяющего контраста I = x₁x₂x₃ порядок смешивания факторов следующий:

x₁ = x₁² x₂ x₃ = x₂ x₃;  x₂ = x₁ x₂² x₃ = x₁ x₃;  x₃ = x₁ x₂ x₃² = x₁ x₂ .

Оценки коэффициентов линейной модели для этого плана эксперимента не могут быть получены раздельно и будут смешанными:

₁^*= ₁ + ₂₃ ;  ₂^*= ₂ + ₁₃ ;  ₃^*= ₃ + ₁₂ .

Планы типа 2^k–р являются ортогональными для моделей с взаимодействиями