Лабораторная работа № 4 Графо-аналитический метод определения параметров закона распределения показателей надежности

Ц е л ь р а б о т ы: для распределения Вейбулла построить координатную сетку, на которой интегральная функция распределения будет иметь вид прямой.

Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: микрокалькулятор; таблица исходных данных.

Основные теоретические сведения

Вероятностная сетка (или вероятностная бумага) для данного распределения вероятностей представляет собой прямоугольную сетку, на которой масштаб выбран таким образом, чтобы график функции этого распределения, построенный на сетке, представлял собой прямую линию (ГОСТ 11.008-75). Вероятностной сеткой пользуются в основном для графического определения оценок параметров распределения: математического ожидания, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации, вероятности безотказной работы или возникновения отказа и т.д.

Чтобы убедиться в соответствии результатов наблюдения тому или иному закону, необходимо опытные данные (точки) нанести на вероятностную бумагу, провести осредняющую линию и проверить, насколько близко опытные точки располагаются от прямой. Если точки далеки от прямой, то вид теоретического закона выбран неправильно.

При проведении этой проверки надо учитывать, что при приближении к концам выборки опытные точки могут больше отклоняться от прямой, чем в средней части графика.

Оценки параметров распределения значений показателя определяют по углу наклона прямой и по отрезкам, отсекаемым ею на осях координат (с учетом масштаба).

Для проведения статистического анализа информации о надежности с помощью построения вероятностных сеток необходимо соответствующим образом обработать результаты наблюдений. Если объем выборки не превосходит 50, элементы выборки нумеруют в порядке возрастания:

Эмпирическую функцию распределения вычисляют по формуле

(10)

Если два и более элемента выборки совпадают, т.е. , то в этих точках полагают равной , где определяют по формуле (10) с заменой на .

В случае n> 50 рекомендуется применять группировку данных. Через и обозначают соответственно наибольший и наименьший элементы выборки. Выбирают числа и так, чтобы , и интервал разбивают на k интервалов:

; , … .

Число точек в j-м интервале обозначают . При этом должны выполняться неравенства:

.

Если внутрь -го интервала попало точек, а внутрь - го - точек выборки, причем на границу этих интервалов попало точек выборки, то полагают:

;

.

Таким образом, из точки на границе интервалов в смежные интервалы относят на 1/2 точки.

При подсчете точка (т.е. наименьший элемент выборки) также считается за 1/2 точки.

Интервал разбивают на интервалы одинаковой длины h:

, (11)

где h – целое число.

Подсчитывают значения частот в каждом интервале.

После группировки эмпирическую функцию распределения в точках, соответствующих середине -го интервала, вычисляют по формуле:

(12)

Полученные значения эмпирической функции наносят на вероятностную бумагу закона распределения Вейбулла.

Вероятностная сетка для распределения Вейбулла устроена следующим образом. По оси абсцисс применяют логарифмическую шкалу, а по оси ординат откладывают значения, надписывают величину , вычисляемую по формуле:

. (13)

В результате преобразований:

. (14)

Для оси абсцисс вероятностной сетки распределения Вейбулла используют логарифмическую шкалу. По оси ординат откладывают значения y. Для выбора масштаба по оси ординат задают и . Тогда:

, ,

размах величины y равен 8,84, а величину вычисляют по формуле:

(15) где y определяют по формуле ; H-длина шкалы по оси ординат, мм. Если H = 300 мм, то =33,94y. Значения для этого случая приведены в табл. 7.

Т а б л и ц а 7

Значения величины

0,001	-234,6	0,05	-100,8	0,42	-20,6
0,002	-228,3	0,06	-94,4	0,46	-16,4
0,003	-197,2	0,07	-89,1	0,50	-12,4
0,004	-187,3	0,08	-84,3	0,54	-8,6
0,005	-179,7	0,09	-80,1	0,58	-4,8
0,006	-173,2	0,10	-76,4	0,62	-1,1
0,007	-168,3	0,016	-64,2	0,63	0
0,008	-163,7	0,20	-50,9	0,70	6,2
0,009	-159,7	0,24	-43,9	0,74	10,1
0,01	-156,2	0,30	-35,0	0,82	18,3
0,02	-132,4	0,34	-30,1	0,90	28,3
0,03	-118,5	0,38	-25,0	0,95	37,2
0,04	-108,6	0,40	-22,9	0,99	65,4

Величину вычисляют по формуле:

, (16) где - коэффициент масштаба по оси абсцисс, определяемый при помощи формулы:

. (17)

Для =100 значения приведены в табл. 8; L-ширина графика. Для удобства вычисления рекомендуется выбирать наибольшее из возможных значений L. Значения величины L следует выбирать так, чтобы значение коэффициента , определяемое по формуле (17), было удобным для вычисления.

Т а б л и ц а 8

Логарифмическая шкала

X		X		X
1,00	0	2,5	39,8	5,0	69,9
1,05	2,1	2,6	47,5	5,2	71,6
1,10	4,1	2,7	43,1	5,4	73,2
1,15	6,1	2,8	44,7	5,6	74,8
1,20	7,9	2,9	46,2	5,8	76,3
1,25	9,7	3,0	47,7	6,0	77,8
1,30	11,4	3,1	49,1	6,2	79,2
1,35	13,0	3,2	50,5	6,4	80,6
1,40	14,6	3,3	51,9	6,6	82,0
1,45	16,1	3,4	53,1	6,8	83,3
1,50	17,6	3,5	54,4	7,0	84,5
1,55	19,0	3,6	56,6	7,2	85,7
1,60	20,4	3,7	56,8	7,4	86,9
1,65	21,7	3,8	58,0	7,6	88,1
1,70	23,0	3,9	59,1	7,8	89,2
1,75	24,3	4,0	60,2	8,0	90,3
1,80	25,5	4,1	61,3	8,2	91,4
1,85	26,7	4,2	62,3	8,4	92,4
1,90	27,9	4,3	63,3	8,6	93,4
1,95	29,0	4,4	64,3	8,8	94,4
2,0	30,1	4,5	65,3	9,0	95,4
2,1	32,2	4,6	66,3	9,2	96,4
2,2	34,2	4,7	67,2	9,4	97,3
2,3	36,2	4,8	68,1	9,8	99,1
2,4	38,0	4,9	69,0	10,0	100
Примечание: если значение X выходит за пределы, данные в табл. 8, т.е. (K=1,2,…), то следует пользоваться формулой .

Если известно, что случайная величина имеет распределение Вейбулла без сдвига (двухпараметрическое), то нанесение точек на вероятностную сетку для распределения Вейбулла производят при помощи формул (16) и (15). После чего строят прямую.

Если А – точка пересечения этой прямой с осью абсцисс, а точка 0 -начало координат, то оценку параметра распределения Вейбулла находят:

(18)

Оценку параметра можно определить по табл. 8 по величине:

.

Оценка параметра распределения Вейбулла:

(19)

При H=300 мм

, (20) где - угловой коэффициент прямой, равный

, (21) где - угол наклона выравнивающей прямой к оси абсцисс.

Значение математического ожидания и дисперсии определяют по следующим формулам:

, (22)

, (23)

где и - коэффициенты, определяемые по табл. 9 в зависимости от величины .