Порядок выполнения работы

1. Из табл. 3 приложения студенту необходимо выписать исходные данные в соответствии с вариантом, выданным преподавателем.

В результате испытаний дизелей записывалась их наработка, после которой дизель подлежал капитальному ремонту. Полученные результаты были сгруппированы по интервалам продолжительностью h = 350 моточасов.

Данные о числе образцов, подлежащих капитальному ремонту в первом, втором и т.д. интервалах наработки, взятые из табл. 3 приложения, заносят в первую и вторую графы табл. 46. Требуется проверить гипотезу о том, что указанная наработка подчинена экспоненциальному распределению.

Таблица 46

Данные для проверки согласия опытного распределения наработки дизелей до капитального ремонта с экспоненциальным распределением

j

mj

(j-1/2)mj

yj

yj – y1

F(yj – y1)

Pj

Pjn

mj – Pjn

(mj – Pjn)2

(mj­Pjn)²Pjn

1

.

.

.

r

Σ

Σ

Σ

2. На практике результаты наблюдений случайной величины х, полученные на основании выбора статистических данных, располагают в порядке возрастания:

.

3. Далее вычисляют размах x_n – x1 и образуют r равных интервалов шириной h:

В предполагаемом примере, ввиду большого числа данных, значения х₁ … x_n не представлены, а известны значения m_j, r и h (m_j – это частоты величин x_j, попавшие в j-е интервалы; h – ширина интервала; r – число интервалов).

4. При обработке результатов наблюдений, необходимых для оценки предполагаемой гипотезы по критерию χ², заполняют графы 3…14 табл. 46.

5. Вычисляют среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение:

где

6. Полученные значения и σ исследуемой наработки, измеренные числом интервалов, надо для перевода в моточасы умножить на h.

Поскольку для экспоненциального распределения математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению, то начало отсчета наработки при определении нормированных величин y_j сдвинуто на

7. Вычисляют величины

их записывают в седьмую графу табл. 46.

8. В восьмой графе вычисляют разность y_j – y₁.

9. В девятую графу табл. 46 записывают значения функции проверяемого теоретического распределения F(y_j – y₁)

где значение переписывают из специальных таблиц [15].

10. В десятую графу записывают вероятности попадания опытных данных в j-й интервал P_j:

11. Заполняют графу 11, если в ней окажутся значения nP_j < 10, то следует объединить интервал, в котором ожидаемое число результатов наблюдений меньше десяти, с одним или несколькими соседними интервалами таким образом, чтобы в новом интервале ожидаемое число результатов наблюдений было не менее десяти.

Объединение интервалов пояснено на примере, где после заполнения табл. 46 получены некоторые данные:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
20	3	58,5	10,9	118,81	358	1,28	2,23	0,8925	0,0121	4,34	-1,34	179	0,242
21	3	61,5	11,9	141,61	425	1,40	2,35	0,9046	0,0108	3,87	-0,65	0,42	0,036
											-0,87	0,75	0,194
22	5	107,5	12,9	166,41	832	1,50	2,47	0,9154	0,0096	3,44	1,56	2,43	0,707
23	4	90	13,9	193,21	773	1,64	2,59	0,9250	0,0078	2,79	1,21	1,46	0,524
24	2	47	14,9	222,01	444	1,75	2,70	0,9328	0,0076	272	-0,72	0,51	0,187
											3,94	15,52	1,54
25	3	73,5	15,9	252,81	758	1,87	2,82	0,9404	0,0067	2,40	0,60	0,36	0,15
26	5	127,5	16,9	320,41	1428	1,99	2,94	0,9471	0,0060	2,15	2,85	8,12	3,78

Видно, что объединены 20…22 и 23…26 интервалы. При этом для всех расширенных интервалов значения n(P₂₀ + P₂₁ + P₂₂) и n(P₂₃ + P₂₄ + P₂₅ + P₂₆) более 10. эти интервалы заключают в полужирную рамку.

Соответственно вычисляют и все остальные величины, например, графа 14 приобретает следующий вид:

12. После объединения интервалов считают полное число неравновеликих интервалов (вместо равновеликих), и число степеней свободы при оценке χ² принимают равным k = N – 1, где N – число неравновеликих интервалов.

13. Вычислить критерий χ²:

.

14. Задать доверительную вероятность

того, что величина χ², полученная вследствие случайных отклонений частостей опытного распределения от соответствующих вероятностей теоретического распределения будет меньше значения , установленного для доверительной вероятности γ.

15. По таблице [15] квантилей x_u – квадрат распределения при доверительной вероятности γ находят дл опытных число степеней свободы и ближайшее значение доверительной вероятности.

Или по таблице [15] для доверительной вероятности и числа степеней свободы находят величину , вычисляют и сравнивают с ним вычисленную по данным табл. 46 величину χ².

16. Если χ² окажется меньше , то для принятой доверительной вероятности гипотеза о согласии опытного и теоретического распределений принимается, в противном случае – отвергается.

17. Построить графики функций теоретического и опытного распределений, привести расчеты, заполнить таблицы. Сделать вывод о принятии или непринятии гипотезы о согласии наработки дизеля до капитального ремонта с экспоненциальным распределением.

18. Отчет защитить у преподавателя.

Контрольные вопросы

1. Чему равно математическое ожидание для экспоненциального распределения?

2. Что такое ранжированный ряд?

3. Как вычислить критерий χ²?

4. Какое распределение называют экспоненциальным?

5. В каком случае применяют экспоненциальное распределение?

6. Чему равна дисперсия для экспоненциального распределения?

7. Как определить вероятность безотказной работы до наработки t?

Лабораторная работа № 15

Применение критерия ω²

Ц е л ь р а б о т ы: проверить согласие опытного и теоретического распределения случайной величины с применением критерия ω².

Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: микрокалькулятор; таблица исходных данных.

Основные теоретические сведения

В отличие от критерия Колмогорова, в котором расхождения между экспериментальной и теоретической функциями распределения измеряются максимумом абсолютной величины разностей этих функций, критерий ω² использует статистику, представляющую собой взвешенную сумму квадратов таких разностей:

где F(x) – теоретическая функция распределения; F_n(x) – эмпирическая функция распределения; φ[F(x)] – весовая функция, областью определения которой является область значений функции F(x).

Этот критерий обладает рядом преимуществ перед критерием χ²: с его помощью удается полнее использовать результаты наблюдений, поскольку принадлежность распределения к определенному закону проверяется по всем значениям случайной величины.

Справедливость выдвинутой гипотезы о принадлежности результатов наблюдений к определенному виду закона распределения проверяют путем сопоставления величины , полученной по результатам наблюдений с критическим значением этого критерия.

Конкретный вид статистики зависит от вида весовой функции. Обычно используют весовые функции двух видов: φ(F) = 1, при которой все значения функции распределения обладают одинаковым весом, и , при которой увеличивается вес наблюдений на «хвостах» распределений. Часто применяется весовая функция второго вида, поскольку на практике различия между распределениями наиболее отчетливо выступают в областях крайних значений случайной величины. Но на практике часто имеется мало наблюдений именно в этих областях крайних значений.

Если принять весовую функцию второго вида, статистика ω² после выполнения интегрирования имеет следующий вид:

где – результаты наблюдений, упорядоченные по величине.

Следовательно, критерий ω² является более мощным, чем критерий χ² и Колмогорова, но его применение требует большого количества вычисленных операций. Критерий ω² может быть применен, если число наблюдений превышает 50. его применение является обязательным, если число наблюдений меньше 200; если число наблюдений больше 200, то его применение рекомендуется в случаях, когда результаты проверки по другим критериям не позволяют сделать безусловный вывод о согласии опытного и теоретического распределений, например, если при проверке согласия по критерию χ² гипотеза принята при уровне значимости 0,1 и отвергнута при уровне значимости 0,05, то следует применять дополнительно и критерий ω².