Порядок выполнения работы

1. Из табл. 1 приложения студенту необходимо выписать исходные данные в соответствии с вариантом, выданным преподавателем.

Таблица 42

Предельные значения нормированных отклонений опытного распределения от значений теоретического распределения для заданных доверительных вероятностей

γ		γ
0,01	0,44	0,60	0,89
0,05	0,52	0,70	0,97
0,10	0,57	0,80	1,07
0,15	0,61	0,90	1,22
0,20	0,65	0,95	1,36
0,30	0,71	0,98	1,52
0,40	0,77	0,99	1,63

По результатам испытаний требуется проверить гипотезу о нормальном распределении наработки до отказа.

Во время испытаний тормозных устройств были получены данные о наработке их до отказа. Распределение наработки до отказа тормозных устройств подчиняется нормальному закону.

Данные испытания, необходимые для построения функции опытного и теоретического распределения, приведены в табл. 1 приложения.

2. Результаты наблюдений случайной величины х, полученные в специально поставленном эксперименте, располагают в порядке их возрастания:

.

При группировании результатов испытаний выявляют наибольшее х и наименьшее х₁ значения. Зона рассеивания (размах) рассчитывается как разность между этими элементами.

Следовательно, в выборке х₁,…, х_N определяют размах:

3. Зону рассеивания делят на интервалы в количестве r, вычисленные по формуле:

Полученное значение округляют в наименьшую сторону.

4. Ширина интервала группирования:

5. В первую графу (табл. 43) записывают значения х₁; х₁+Δ; х₁+2Δ;…х_r.

6. Вычисляют среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение:

7. Данные вычислений заносят в графы 3 – 6 табл. 43.

8. В седьмую графу табл. 43 записывают:

Таблица 43

Данные для построения функции опытного и теоретического

распределения

F(yj+1)	9					r Σ J=0
FN(yj+1)	8
yj+1	7
_ ((x1+jΔ ) -x)-2 mj+1	6
((x1+jΔ ) -x)2	5
(x1+jΔ) –x	4
mj+1(x1+jΔ)	3
mj+1	2
x1+jΔ	1

9. В восьмую графу записывают эмпирическую функцию (функцию опытного распределения):

где , а в девятую графу – функцию теоретического распределения, которую находят по формуле (126) или по табл. 1.2 [15], принимая во внимание, что в нашем случае .

Функция теоретического распределения F(y) представляет собой вероятность того, что при принятом распределении случайной величины y будет выполняться условие .

10. По формуле (130) определяем интенсивность отказов, а по формуле (131) – выборочную дисперсию. Значения интенсивности отказов и выборочной дисперсии заносят в табл. 44,где графы 1 – 4 переносят из табл. 43.

Таблица 44

Определение выборочной дисперсии

x1+jΔ	yj+1	FN(yj+1)	F(yj+1)	λ(yj+1)	S2
1	2	3	4	5	6

11. По данным табл. 43 строят графики функции опытного и теоретического распределения – F_N(y_j+1) и F(y_j+1).

12. По графику и данным табл. 43 определяют максимальное отклонение функции опытного распределения от функции теоретического распределения по формуле (132).

Принимая во внимание, что в нашем случае обозначение функции теоретического распределения F(y_j+1), а эмпирического – F_N(y_j+1), формулу (132) можно записать следующим образом:

13. Вычисляют величину λ_N по формуле (133).

14. По формуле (134) задают доверительную вероятность.

По табл. 42 находят значение, соответствующее этой доверительной вероятности.

Если , полученной по принятой доверительной вероятности, то между эмпирическим и теоретическим распределениями вероятностей имеет место незначительное различие.

15. Пользуясь табл. 45, для значений λ находят P(λ), которая определяет вероятность того, что эмпирическая и теоретическая кривые согласуются.

Таблица 45

Вычисления вероятности Р () по критерию согласия 

значения
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
Р	1,0	1,0	1,0	0,997	0,967	0,864	0,711	0,544	0,393	0,270
	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
Р	0,178	0,112	0,668	0,040	0,022	0,012	0,006	0,003	0,002	0,001

16. Гипотезу о соответствии принимают при N ≥ 100, если P(λ)=0,01…0,05.

Также, если уравнение (134) переписать:

,

и вычисленная вероятность получится незначительной (меньше 0,05…0,10), то отклонение эмпирической функции распределения от теоретической неслучайно, т.е. теоретическая и экспериментальная функции плохо согласуются.

17. Привести расчеты, таблицы, построить графики функции опытного и теоретического распределений.

18. Сделать вывод о согласии данного опытного распределения с нормальным распределением.

19. Отчет защитить у преподавателя.

Контрольные вопросы

1. Функция распределения и плотность распределения.

2. В каком случае принимают гипотезу о соответствии теоретического и экспериментального распределений?

3. Что такое интенсивность отказа?

4. Определение выборочной дисперсии.

5. Как определить размах и ширину интервала?

6. Как определить среднее арифметическое значение?

7. Выборка и генеральная совокупность.

Лабораторная работа № 14

Применение критерия χ² для экспоненциального закона распределении

Ц е л ь р а б о т ы: проверить согласие опытного и теоретического распределения случайной величины с применением критерия χ².

Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: микрокалькулятор; таблица исходных данных.

Основные теоретические сведения

Распределение случайной положительной величины называется экспоненциальным, если его плотность вероятности имеет вид:

,

где λ – постоянная (параметр распределения).

Функция этого распределения

.

Если t – наработка, то вероятность безотказной работы до наработки t:

Для вычислений существуют табличные значения функции exp(x)/

Квантили экспоненты z_p:

.

Математическое ожидание и дисперсию находят по следующим уравнениям:

Коэффициент вариации для экспоненциального распределения:

Критерий χ². Пусть m_j и Р_j – частости и вероятности появления события A_j(j = 1,…,r) в N независимых испытаниях соответственно.

Тогда при больших N величина

асимптотически подчинена распределению χ² с числом степеней свободы k = r – 1. если в качестве события рассматривать попадание j-го результата наблюдений в интервал (j – 1)h, jh, то при

приведенное выражение χ² можно рассматривать как критерий согласия опытного и теоретического распределений.

Для нахождения χ² нужно вычислить математическое ожидание NP_j, для чего определить и σ для среднего значения квадратического отклонения проверяемого теоретического распределения.

Рекомендуется вычислить и σ по группированным значениям x и затем для σ использовать поправку Шеппарда. При этом все x из интервала (j – 1)h, jh нужно считать сконцентрированными в средней точке этого интервала С помощью таких модифицированных значений нужно вычислить и σ. Для того, чтобы можно было применять поправку Шеппарда, нужно, чтобы все интервалы имели одинаковую длину h.

Если имеется много интервалов, и их середины находятся очень близко друг к другу, то необходимость в применении поправок Шеппарда отпадает.

Второе условие применения критерия χ² – назначение числа степеней свободы. Распределение χ² с r – 1 степенями свободы имеет место в том случае, если выражение

было вычислено с помощью истинных значений и σ. Правильный выбор числа степеней свободы зависит от объема выборки N и числа интервалов r.

Теория применения критерия χ² основана на том, что величины (m_j, NР_j) приближенно распределены нормально. Это имеет место, если величины NР_j > 10. Если некоторое значение NР_j < 10, то необходимо объединять маленькие группы, чтобы каждая из них после объединения содержала по крайней мере 10 ожидаемых результатов. Если наблюдений так мало, что этого сделать нельзя, критерий χ² применять нецелесообразно.