Лабораторная работа № 13 Применение критерия Колмогорова

Ц е л ь р а б о т ы: проверить согласие опытного и теоретического распределения случайной величины с применением критерия Колмогорова..

Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: микрокалькулятор; таблица исходных данных.

Основные теоретические сведения

Проверка согласия опытного и теоретического распределения случайной величины х заключается в получении упорядоченного ряда результатов наблюдений этой величины:

построении на основе их функции накопленных частостей и сравнении этой функции с теоретическим законом распределения.

Исследуемая совокупность должна быть однородной, т.е. наблюдения случайной величины х должны проводиться в одинаковых условиях.

Если число наблюдений случайной величины х больше 100, то для проверки согласия опытного распределения с теоретическим применяют критерий Колмогорова и критерий λ², если число наблюдений случайной величины х больше 50, то для проверки согласия опытного распределения с теоретическим применяют критерий ω².

Широкое применение при оценке распределения случайной величины получил нормальный закон (закон Гаусса). Этот закон хорошо описывает распределение случайной величины, на изменение которой влияет большое число факторов, равнозначных по величине. К нормальному закону близко распределение значений наработки на отказ большинства изнашивающихся деталей дорожных машин (ножи, втулки, фрикционные элементы).

Функция плотности нормального распределения:

(123)

где е – основание натурального логарифма; σ – среднее квадратическое отклонение; – среднее арифметическое значение случайной величины х, полученное путем деления суммы результатов наблюдений на общее число наблюдений:

(124)

где х₁,…, х_N – значения, полученные в результате измерения случайной величины; N – общее число значений величины х.

Среднее арифметическое значение характеризует центр группировки значений случайной величины х.

В случае , имеем нормированное и центрированное распределение, плотность которого табулирована [15].

Интегральная функция нормального распределения:

(125)

Для нормированного и центрированного распределения имеем табулированную функцию Ф(t), называемую интегралом вероятностей:

(126)

Значения F₀(x) представлены в табл. 1.2 [15].

Из уравнения (126) следует, что:

(127)

Из уравнений (125) и (126) получаем:

. (128)

Если наработка х до отказа приближенно распределена по нормальному закону, то вероятность отсутствия отказа на промежутке от 0 до х находится по уравнению:

(129)

Интенсивность отказов:

(130)

где – табулированная функция 1.4 [15].

Выборочная дисперсия:

(131)

При оценке справедливости гипотезы о виде закона распределения случайной величины по критерию Колмогорова строят эмпирическую функцию распределения и теоретическую функцию предполагаемого закона распределения. Гипотезу проверяют с помощью величины D, определяемой по результатам наблюдений и выражающей наибольшее абсолютное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения.

Применение критерия согласия Колмогорова на практике осложняется следующими обстоятельствами. Для сопоставления функций опытного и теоретического распределений необходимо знать значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения наблюдаемой случайной величины, которые обычно неизвестны.

Использование вместо этих неизвестных значений их оценок и σ при малом числе наблюдений (или при большом числе наблюдений, сгруппированных в малом числе интервалов) может привести к ошибочным выводам при проверке согласия опытного и теоретического распределений. В случае проверки нормальности распределения эту трудность можно решить сопоставлением функции опытного распределения величин ( ) с функцией распределения Стьюдента. Однако при малом числе наблюдений результативность применяемого критерия будет небольшой, а при большом числе наблюдений распределение Стьюдента сходится к нормальному, причем и σ становятся достаточно близкими к их математическим ожиданиям. Таким образом, при большом количестве наблюдений применение критерия Колмогорова не вызывает каких-либо осложнений.

Значение:

(132)

где F_N(x) и F(x) – эмпирическая и теоретическая функции закона распределения соответственно.

Величина:

(133)

Задают доверительную вероятность:

(134)

того, что отклонение функции опытного распределения от теоретического будет меньше величины λ_N, установленной для доверительной вероятности γ.

Значение, соответствующее этой доверительной вероятности, находят по табл. 42.

Таким образом, проверяют соответствие эмпирического закона выбранному теоретическому закону распределения.