- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Если - сходится, то - сходится;
- •Если - расходится, то - расходится.
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Критерий сходимости положительного ряда.
Двойные ряды
Определение двойного ряда
Пусть двойная последовательность.
Элементы этой последовательности можно записать в виде бесконечной таблицы:
.
Под двойным рядом будем понимать следующую формальную запись: (1).
Образуем двойную последовательность частичных сумм Определим понятие предела двойной последовательности:
если
Ряд (1) называется сходящимся к числу S, если В противном случае ряд расходится.
(1)Лемма (необходимое условие сходимости). Если ряд (1) – сходится, то
Доказательство.
Доказано.
Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
Задача. Если то будет ли последовательность ограниченной?
Не будет. Рассмотрим, например, таблицу: .
но неограниченная,
Повторные ряды
(2) Двойной ряд сходится, если конечная следующая сумма
(3) Двойной ряд сходится, если конечная следующая сумма
Перестановки последовательности
Т.к. элементы последовательности образуют счётное множество, то их можно занумеровать с помощью натуральных чисел бесконечно многими способами. Каждому способу будет соответствовать свой числовой ряд. Все эти ряда по отношению друг к другу являются перестановками. Будем говорить, что двойной ряд сходится в смысле определения (4), если сходится некоторая его перестановка. Напомним, что счётное множество – это множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N.
(4) Разные перестановки сходятся к разным числам.
Будем говорить, что двойной ряд сходится абсолютно в смысле определений 1-4, если сходится ряд из модулей в смысле этих определений.
Основная теорема. Если двойной ряд сходится абсолютно в смысле хотя бы одного из четырёх определений, то он будет сходится и в смысле всех других определений и к той же сумме (в смысле определения (4) при любой перестановке).
Задача 1. Исследовать сходимость двойного ряда
Составим бесконечную таблицу
Будем нумеровать по диагонали
Возьмём частичную сумму
если то ряд сходится; в остальных случаях ряд расходится.
Так ряд сходится при
Задача 2. Исследовать сходимость ряда, для которого
Сходится в смысле определения (1) к единице. Двойной ряд в смысле определений (2) и (3) является расходящимся. Любая перестановка этого ряда также будет расходящейся, т.к. общий не будет стремиться к нулю и не будет ограниченным.
Задача 3. Исследовать сходимость ряда, для которого
.
Ряд в смысле определения (4) является расходящимся.
Рассмотрим ряд в смысле определений (2) и (3).
Оба повторных ряда сходятся к нулю.
В смысле определения (4) для некоторой перестановки ряд будет расходящимся.
Рассмотрим перестановку сходится к нулю.
Задача 4. Придумать такую таблицу, для которой оба повторных ряда сходятся, но к разным суммам.
Задача 5. Исследовать сходимость ряда
Бесконечные произведения
Определение бесконечного произведения
Пусть положительная последовательность, т.е. .
Формальная запись (1) называется бесконечным произведением.
Будем говорить, что бесконечное произведение (1) – сходится, если где последовательность частичных произведений. В противном случае произведение (1) – расходится.
Основная теорема. Бесконечное произведение (1) – сходится сходится (2).
Доказательство. (1) – сходится
(2) – сходится.
Доказано.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Получаем сходится условно.
Исходный ряд сходится условно.
Бесконечное произведение (1) назовём абсолютно сходящимся, если сходится ряд . В противном случае (1) сходится условно. В предыдущем примере представлено условно сходящееся бесконечное произведение.