Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)

Группировка числового ряда

Для числового ряда (1) группировка ряда – это ряд вида

Теорема. Любая группировка сходящегося ряда – сходится.

Доказательство. Последовательность частичных сумм группировки является подпоследовательностью частичных сумм исходного ряда и для сходящегося ряда имеет конечный предел. Любая группировка сходящегося ряда сходится к сумме ряда. Обратное утверждение не верно.

Доказано.

Пример. Ряд расходящийся, но сходится. Или сходится.

Умножение рядов

Пусть даны два ряда (1), (2).

Образуем бесконечную таблицу

Элементы этой таблицы можно вытянуть в линию (занумеровать) бесконечно многими способами. Все они будут по отношению друг к другу перестановками. Этой бесконечной таблице соответствует бесконечно много переставленных числовых рядов. Если некоторые (-ая) перестановка (-и) сходится абсолютно, то все перестановки будут также сходится абсолютно к одной и той же сумме. В этом случае любую перестановку естественно назвать произведением рядов (1) и (2),а её сумму – суммой произведения исходных рядов.

Теорема. Если ряд (1) сходится абсолютно к А, а ряд (2) сходится абсолютно к В, то определено произведение рядов (1) и (2), равное АВ.

Доказательство. Пусть сумма (3) некоторая перестановка бесконечной таблицы, где  и  - перестановки N – множества натуральных чисел.

Покажем, что (3) сходится абсолютно: Можно оценить сверху следующим образом:

сходится.

Остаётся выяснить, чему равна сумма произведений. Для этого достаточно взять произвольную перестановку и в этой перестановке – любую подпоследовательность частичных сумм. Возьмём следующую:

Доказано.

Формальным произведением, или произведение Коши рядов (1) и (2) называется сумма ряда (3) Отметим, что формальное произведение является группировкой некоторой перестановки бесконечной таблицы. Поэтому из предыдущей теоремы и теоремы о группировке сходящегося ряда вытекают следующие утверждения:

теорема Коши: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится абсолютно к В, то ряд (3) сходится к ;
теорема Мертенса: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к ;
теорема Абеля: если ряд (1) сходится к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к .