Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)

Исследуем достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье. Для этого определим следующий класс функций.

2-периодическую функцию назовём кусочно-непрерывно-дифференцируемой, если тор, или период, можно разбить на конечное число дуг или отрезков, на каждой из которых функция является непрерывно дифференцируемой.

Функция называется кусочно-непрерывно-дифференцируемая, если она кусочно-непрерывно-дифференцируемая и непрерывна на всём периоде.

непрерывная кусочно-дифференцируемая функция

Теорема. Тригонометрический ряд Фурье непрерывной кусочно-непрерывной дифференцируемой функции сходится к ней равномерно.

Доказательство. Для простоты рассмотрим случай

В ыразим коэффициенты Фурье функции f через коэффициенты её производной, и для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Т.к. из равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная, а тригонометрический ряд Фурье в среднеквадратичном сходится именно к функции, то он будет равномерно сходится к этой функции.

Имеем:

Итак,

Далее

и по признаку Вейерштрасса тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно.

Доказано.

Построим суммы к бесконечным частичным суммам ряда Фурье, но обладающие свойством равномерной сходимости для произвольной непрерывной функции. Определим эти суммы следующим образом:

суммы Фейера (по имени Л. Фейера), являющиеся тригонометрическим полиномом порядка п, в интегральном представлении которых участвует ядро, называемое ядром Фейера.

Другая запись ряда Фейера имеет вид:

разрыв

Пример 1. Ряд расходится,

Пример 2. «скорость» приближения функции.

Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)

Проверим, что для сумм Фейера выполнены оба условия в теореме Банаха-Штейнгауза. Это будет означать, что сумма Фейера равномерно сходится к любой непрерывной функции. Имеем:

1. ограничены;

2. сходимость на плотном множестве тригонометрических полиномов. Достаточно проверить сходимость и

Аналогично доказывается равномерная сходимость для

Предложим и другие доказательство равномерной сходимости сумм Фейера.

Теорема.

Доказательство. Имеем:

1. равномерно непрерывна и ограничена, т.е. Т – тор, компактное множество.

Имеем:

2. 

и для этих п будет

Окончательно,

Доказано.

Следствием этой теоремы является теорема Вейерштрасса о возможности равномерного приближения любой непрерывной периодической функции тригонометрическими полиномами. Эта теорема была сформулирована при доказательстве замкнутости в среднеквадратичном тригонометрической системы.

В качестве следствия из этой теоремы можно получить и другую теорему Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса. Множество алгебраических многочленов плотно в пространстве Это означает, что некоторой степени, такой, что

Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).

6. Теорема Вейерштрасса-Стоуна

Пусть компактное множество, множество всех непрерывных функций на К, непрерывна, если

Пространство является полным линейным нормированным пространством с нормой

Множество назовём плотным в если

Подмножество назовём алгеброй, если будет:

1. (замкнуто относительно суммы);

2. (замкнуто относительно произведения);

3. 

Примерами алгебр являются множества всех алгебраических многочленов Р, множество всех тригонометрических полиномов M.

Будем говорить, что алгебра А разделяет точки компакта К, если Алгебры Р и M разделяют точки своих компактов.

Будем говорить, что алгебра не исчезает ни в одной точке компакта К, если Алгебры Р и M не исчезают ни в одной точке.

Теорема Вейерштрасса-Стоуна. Любая алгебра разделяющая точки компакта К и не исчезающая ни в одной точке компакта К, образует плотное множество в

Примем без доказательства.

По аналогии с многочленами от одной переменной можно определить многочлены от п переменных как конечные линейные комбинации функций вида Такая функция называется мамоном. Мамон является многочленом степени Степенью произвольного многочлена называют наибольшую степень мамона, входящую в этот многочлен.

Пример. Степень многочлена равна 3, т.е. это мамон 3-ей степени.

Показать самостоятельно, что эта алгебра разделяет точки произвольного компакта и не исчезает ни в одной точке компакта К. Поэтому из теоремы Вейерштрасса-Стоуна сразу получаем, что плотно в

Задача. Пусть Показать, что А – алгебра и найти необходимое и достаточное условие, чтобы эта алгебра разделяла точки отрезка и не исчезала ни в одной точке т.е. была бы плотна в пространстве

Алгебра А разделят точки тогда и только тогда, когда функция строго монотонна на Действительно, если например, строго возрастающая, то

Следовательно,

Если не является строго монотонной, то в которых функция принимает одинаковые значения. Тогда и точки и не разделяются.

Убедимся на примерах, что в теореме Вейерштрасса-Стоуна оба дополнительных условия являются важными.

Пример 1. Укажем алгебру в пространстве не разделяющую точки и не плотную в Такая алгебра может быть выбрана как подалгебра Р. Тривиальный пример – константы. Менее тривиальный пример – множество всех чётных многочленов Это множество не является плотным в пространстве

Пример 2. Укажем алгебру (подалгебру) многочленов на исчезающую в некоторой точке. В качестве такой алгебры можно взять множество всех нечётных многочленов

Все эти функции исчезают в нуле, и эти функции не приближают т.к.