Числовой ряд. Определение сходимости. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов.
Критерий сходимости положительного ряда.
Признак сравнения в форме неравенств.
Признак сравнения в предельной форме.
Обобщённый признак сравнения.
Признак Даламбера.
Радикальный признак Коши.
Признак Раббе.
Признак Гаусса.
Признак Коши с монотонными членами.
Интегральный признак Коши.
Абсолютно сходящиеся ряды. Признак абсолютной сходимости.
Условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
Преобразование Абеля. Признак Абеля.
Преобразование Абеля. Признак Дирихле.
Теорема Римана для условной сходящихся рядов.
Критерий безусловной сходимости числового ряда.
Сходимость сгруппированного ряда.
Умножение числовых рядов. Теорема Коши об умножении абсолютно сходящихся рядов.
Формальное произведение числовых рядов. Теоремы Мертенса и Абеля.
Двойные числовые суммы. Различные определения сходимости. Необходимые условия сходимости. Критерий сходимости для положительных рядов.
Двойные числовые ряды. Различные определения сходимости. Случай абсолютной сходимости.
Бесконечные произведения. Определение сходимости. Необходимое условие сходимости. Случай абсолютной сходимости.
Бесконечные произведения. Признак абсолютной сходимости.
Сходимость бесконечного произведения
в
зависимости от сходимости рядов
Гамма-функция, область определения.
Гамма-функция и формула Эйлера.
Гамма-функция, основное тождество.
Область поточечной сходимости функциональной последовательности, функционального ряда.
Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда. Критерий Коши.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
Признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда.
Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда.
Равномерная сходимость функциоанльной последовательности и непрерывность предельной функции.
Равномерная сходимость функционального ряда и непрерывность его сумм.
Нормированное пространство
сходимость
в нём, его полнота.Равномерная сходимость функциональной последовательности и интегрируемость предельной функции.
Равномерная сходимость функционального ряда и интегрируемость его суммы.
Равномерная сходимость и дифференцируемость предельной суммы.
Равномерная сходимость функционального ряда и дифференцируемость его суммы.
Нормированные пространства
сходимость
в нём, его полнота.Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара. Область поточечной сходимости степенного ряда.
Область равномерной сходимости степенного ряда.
Свойства суммы степенного ряда в интервале сходимости.
Ряд Тейлора и его единственность.
Критерий сходимости ряда Тейлора. Достаточное условие сходимости ряда Тейлора.
Ряд Тейлора-Маклорена для элементарных функций.
Евклидово пространство интегрируемых функций. Среднеквадратичная сходимость, связь с равномерной сходимостью. Ортогональные и ортонормированные системы функций (ОС и ОНС).
Задача о наилучшем среднеквадратичном приближении интегрируемой функции полиномами по ОНС.
Ряд Фурье по ОНС. Базисность, замкнутость, полнота и равенство Парсеваля для ОНС.
Ряд Фурье интегрируемой функции по ОС. . Базисность, замкнутость, полнота и равенство Парсеваля для ОС.
Ортогональность тригономнтрической системы тригонометрического ряда Фурье
периодической
функции и функций с периодом
Комплексная форма тригонометрического
ряда Фурье.Замкнутость тригонометрической системы. Среднеквадратичная сходимость ряда Фурье, равенство Парсеваля. Величина наилучшего среднеквадратичного приближения.
Теорема Банаха-Штейнгауза в задаче о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Константа Лебега.
Равномерная сходимость сумм Фейера.
Первая теорема Вейерштрасса.
Вторая теорема Вейерштрасса.
Алгебра функций в пространстве Теорема Вейерштрасса-Стоуна.
Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье непрерывной кусочной непрерывно-дифференцируемой функции.
Равномерная сходимость к нулю интегралов вида
на
периоде.Преобразование частичной суммы тригонометрического ряда Фурье.
Принцип локализации Римана.
Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье кусочной непрерывно-дифференцируемой функции.
Непрерывность собственного интеграла, зависящего от параметра.
Интегрируемость собственного интеграла, зависящего от параметра.
Дифференцируемость собственного интеграла, зависящего от параметра.
Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши. Признак Вейерштрасса.
Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Интегрируемость несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Дифференцируемость несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Вычисление интеграла Дирихле.
Интегральное представление гамма-функции.
Разложение
в бесконечное произведение.Формула дополнения для гамма-функции
Формула Стирлинга для гамма-функции
Бета-функция. Её связь с гамма-функцией.
Преобразование Фурье функции. Косинус- и синус-преобразование Фурье. Понятие обратного преобразования Фурье.
Преобразование Фурье производной.
Дифференцирование преобразование Фурье.
Разложение в ряд Тейлора-Маклорена некоторых элементарных функций
Тригонометрический ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье периодических функций
Разложение в ряд Фурье чётных и нечётых функций
Для чётной функции
Для нечётной функции
Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
Для чётной функции
Для нечётной функции
Формула и интеграл Фурье
где формула Фурье, а интеграл, стоящий в правой части – интеграл Фурье.
Преобразовання Фурье
Косинус-преобразование Фурье
Синус-преобразование Фурье
Преобразование Фурье
Обратное преобразование Фурье
Формула Стирлинга
Интегралы Эйлера
Гамма-функция, или эйлеров интеграл второго рода
Свойства гамма-функции
Бета-функция, или эйлеров интеграл первого рода
Свойства бета-функции
Связь между гамма- и бета-функциями
Тульский государственный университет
Механико-математический факультет
Кафедра прикладной математики и информатики
Курс математического анализа за III осенний семестр
Автор-составитель:
декан механико-математического факультета, доктор физико-математических наук, профессор
Иванов Валерий Иванович
Тула 2002