- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Если - сходится, то - сходится;
- •Если - расходится, то - расходится.
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Критерий сходимости положительного ряда.
Если - сходится, то - сходится;
Если - расходится, то - расходится.
Доказательство.
1) Имеем или или или
- сходится.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Доказано.
Замечание. В обобщённом признаке сравнения выполнение неравенств достаточно требовать для
Признак Даламбера
Если для ряда то
Доказательство. Пусть тогда ряд сходится, расходится, но
Пусть тогда и для сходится и по обобщённому признаку сравнения исходный ряд сходится.
Пусть
Значит, ряд расходится.
Доказано.
Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
Признак Даламбера с использованием нижнего и верхнего предела
Если то ряд сходится.
Если то ряд расходится и
В признаке Даламбера исследуются отношения и в случае нужно уточнение этого представления. Предположим, что имеет место уточнение Если , то ряд сходится, а при нельзя сделать определённого вывода; нужно некоторое уточнение. Указанный признак сходимости называется признаком Раабе.
Объединённый признак Раабе и Даламбера называют признаком Гаусса:
ряд расходится;
ряд сходится;
ряд сходится;
ряд расходится.
Доказательство (признак Раабе). Доказательство основано на применении обобщённого признака сравнения при сравнении с обобщённым гармоническим рядом .
Пусть сходится. Имеем:
Доказано.
Пример. Исследовать сходимость ряда в зависимости от параметра р .
если ряд сходится;
ряд расходится;
при нужны дополнительные исследования.
Применим формулу Стирлинга
ряд расходится;
ряд сходится.
Радикальный признак Коши
Пусть тогда:
1) ряд сходится;
2) ряд расходится
Доказательство. Верхний предел последовательности – это наибольший частичный предел, или
1)
2)
Если и для
и по признаку сравнения со сходящейся геометрической прогрессией данный ряд сходится.
Пусть и для
Доказано.
Радикальный признак Коши «сильнее», чем признак Даламбера, т.е. любой ряд, который можно исследовать при помощи признака Даламбера, можно и исследовать при помощи признака Коши. Но есть такие ряда, которые нельзя исследовать при помощи признака Даламбера, но можно исследовать при помощи признака Коши.
Пример.
По радикальному признаку Коши ряд сходится.
Используем признак Даламбера.
Получаем неясность.
Признак Коши для рядов с монотонными членами
Пусть невозрастающая
Тогда - сходится сходится.
Доказательство. Необходимость.
Пусть ряд – сходится ограниченная
ограниченная ряд – сходится.
Достаточность.
Пусть ряд – сходится ограниченная
ограниченная ряд - сходится.
Пример 1. убывающая.
сходится
Пример 2. сходится сходится при
Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
Интегральный признак Коши
Пусть невозрастающая. Тогда ряд сходится
сходится и для остатка
Пример. сходится.
сходится.
Доказательство. Будем использовать геометрическую интерпретацию.
или
Так как сходимость ряда эквивалентны ограниченности и , то утверждение признака вытекает из этих неравенств.
Оценим остаток.
Доказано.
Пример. Исследовать сходимость .
при расходится. Значит, исходный ряд расходится.