1.8.2. Координатная форма записи смешанного произведения

Коротко смешанное произведение записывается в виде определителя третьего порядка:

(1.8.2.1)

Замечание 1. При помощи смешанного произведения можно вычислить объем четырехгранной пирамиды, заданной координатами ее вершин:

Замечание 2. Три вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

или

1.9. Двойное векторное произведение трех векторов

Двойным векторным произведением трех векторов называется произведение вида:

(1.9.1)

Так как оно часто используется в приложениях, покажем, что его вычисление можно свести к вычислению более простого выражения, т.е. справедливы следующие равенства:

(1.9.2)

Прежде всего отметим, что двойное векторное произведение трех векторов

есть вектор, компланарный с векторами и .

1.10. Вопросы для самопроверки

Дайте определение понятия вектора.
Какие векторы называются коллинеарными, компланарными?
Основные операции над векторами.
Что называется проекцией вектора на заданную ось? Свойство проекций.
Дайте определение декартовой прямоугольной системы координат. Векторы в декартовой системе координат.
Какая система координат называется полярной? Связь прямоугольных и полярных координат.
Запишите операции сложения и умножения вектора на число в координатной форме.
Скалярное произведение двух векторов. Определение.
Свойства скалярного произведения.
Координатная форма записи скалярного произведения.
Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение. Свойства.
Векторное произведение двух векторов. Определение. Свойства.
Координатная форма записи векторного произведения.
Смешанное произведение. Свойства.
Понятие двойного векторного произведения трех векторов.

2. Понятие об уравнениях линий и поверхностей

Пусть на плоскости задана некоторая линия l. Выберем какую-либо систему координат, например, прямоугольную систему координат XOY.

Уравнение F(x,y)=0 называется общим уравнением линии в системе координат XOY, если ему удовлетворяют координаты любой точки M, принадлежащей линии l, и не удовлетворяют координаты точек , не принадлежащих этой линии.

Линией первого порядка на плоскости называется множество точек, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

(2.1)

Линией второго порядка на плоскости называется множество точек, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

(2.2)

Часто удается выразить координаты произвольной точки M(x,y) линии l через некоторую вспомогательную величину (параметр) t:

, (2.3)

Если при изменении t в некотором промежутке эти формулы дадут координаты любой точки, лежащей на линии l, и не дадут координаты никаких других точек, то , называется параметрическими уравнениями линии l.

Уравнение поверхности в пространстве определяется аналогично уравнению линии на плоскости. Равенство F(x,y)=0 называется уравнением поверхности S в данной системе координат Oxyz, если координаты всех точек поверхности S_(s), удовлетворяют этому равенству, а координаты точек, не лежащих на S , ему не удовлетворяют.

Параметрические уравнения линии в пространстве имеют вид

, - параметр (2.4)