- •Содержание
- •5.8. Задачи для самостоятельной работы 29
- •5.9. Вопросы для самопроверки 31
- •6.11.3. Вопросы для самопроверки 40
- •7.6. Задачи для самостоятельной работы 46
- •Введение
- •1. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Векторы в евклидовом пространстве
- •1.2. Проекция вектора
- •1.3. Декартовы прямоугольные координаты
- •1.4. Координатное представление векторов
- •1.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме
- •1.6. Скалярное произведение векторов
- •1.6.1. Свойства скалярного произведения:
- •1.6.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •1.6.3. Угол между векторами
- •1.6.4. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов
- •1.7. Векторное произведение двух векторов
- •1.7.1. Свойства векторного произведения
- •1.7.2. Координатная форма записи векторного произведения
- •1.8. Смешанное (векторно - скалярное) произведение векторов
- •1.8.1. Свойства смешанного произведения
- •1.8.2. Координатная форма записи смешанного произведения
- •1.9. Двойное векторное произведение трех векторов
- •1.10. Вопросы для самопроверки
- •Свойства скалярного произведения.
- •Координатная форма записи векторного произведения.
- •2. Понятие об уравнениях линий и поверхностей
- •3. Прямая линия
- •3.1. Параметрические и канонические уравнения прямой
- •3.2. Общее уравнение прямой на плоскости
- •3.7. Вопросы для самопроверки к разделу 3
- •4.2. Поворот осей координат
- •5. Кривые второго порядка
- •5.1. Окружность
- •5.2. Эллипс
- •5.3. Гипербола
- •5.4. Директрисы эллипса и гиперболы
- •5.5. Парабола
- •5.6. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •5.7. Решение типовых примеров
- •5.8. Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы к 5.8
- •5.9. Вопросы для самопроверки
- •Ответы к 5.9
- •Окружность.
- •6. Плоскость и прямая в пространстве
- •6.1. Общее уравнение плоскости
- •6.2. Уравнение в отрезках
- •6.3. Векторное и нормальное уравнение плоскости
- •6.4. Расстояние от точки до плоскости
- •6.5. Взаимное расположение двух плоскостей
- •6.6. Пучок плоскостей
- •6.7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •6.8. Уравнение прямой в пространстве
- •6.8.1. Общие уравнения прямой
- •6.8.2. Параметрические и канонические уравнения прямой
- •6.8.3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- •6.9. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •6.10. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •6.11. О решение задач аналитической геометрии на плоскость и прямую
- •6.11.1. Примеры решения типовых задач
- •6.11.2. Задачи для самостоятельного решения
- •6.11.3. Вопросы для самопроверки
- •Ответы к 6.11.2
- •Ответы к 6.11.3
- •7. Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка
- •7.1. Распадающиеся поверхности
- •7.2. Цилиндрические поверхности
- •7.3. Конусы второго порядка
- •7.4. Эллипсоиды и гиперболоиды
- •7.5. Параболоиды
- •7.6. Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы к 7.6
- •Контрольное задание
- •Контрольные вопросы
- •7. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.
- •Ответы к контрольному заданию
- •Литература
1.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме
Если векторы заданы в координатной форме, то операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число можно заменить более простыми арифметическими операциями над координатами этих векторов по следующим правилам.
Правило 1. При сложении векторов их одноименные координаты складываются:
, ,
(1.5.1)
Правило 2. Чтобы вычесть из вектора вектор , нужно вычест координаты вектора из соответствующих координат вектора , т.е.
или (1.5.2)
Правило 3. Чтобы умножить вектор на число , нужно умножить на это число его координаты , т.е. если , то .
1.6. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов и называется число ,(обозначаемое ) равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:
, (1.6.1)
где - угол между векторами и (рис.1.10).
Рис. 1.10
1.6.1. Свойства скалярного произведения:
1).
2). и перпендикулярны; (или , или )
3).
4). , где - число
5). , если
6).
Докажем свойство 6. Имеем
Замечание 1. Остальные свойства доказываются на основании определения.
Замечание 2. Свойства 1, 3, 4, 6 дают право при скалярном умножении векторных многочленов выполнять действия так же, как при умножении алгебраических многочленов.
Замечание 3. Скалярное умножение не распространяется на три и большее число векторов. Произведение, например, трех векторов не является числом, оно будет вектором, коллинеарным вектору , который получается умножением вектора на число .
1.6.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Так как единичные векторы (орты) осей Ox, Oy, Oz прямоугольной системы координат взаимноперпендикулярны, то по формуле (1.6.1) получим :
, , (1.6.2.1)
Далее, используя свойство скалярного произведения имеем:
(1.6.2.2)
Пусть, , . Найдем произведение этих векторов (с учетом формул 1.6.2.1 и 1.6.2.2 ):
(1.6.2.3)
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.
Из равенства (1.6.2.3) и равенства векторов получим:
(1.6.2.4)
,
т.е. квадрат длины вектора равен сумме его координат .
Из равенства (1.6.2.4) найдем длину вектора :
(1.6.2.5)
Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
1.6.3. Угол между векторами
Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что
(1.6.3.1)
Если векторы и заданы координатами и , то формула (1.6.3.1) запишется в виде:
(1.6.3.2)
1.6.4. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов
Как известно, необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов и является равенство:
, (1.6.4.1)
где скалярный множитель >0, если векторы и имеют одинаковые направления и <0 в противном случае.
Пусть заданны два вектора в координатной форме: и .
В этом случае из равенства (1.6.4.1) следует, что
, (1.6.4.2)
откуда (1.6.4.3)
Следовательно, если ненулевые векторы и коллинеарны, то и их одноименные координаты пропорциональны.
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и является равенство:
(1.6.4.4)
или в координатной форме условие (1.6.4.4) имеет вид:
(1.6.4.5)