- •Содержание
- •5.8. Задачи для самостоятельной работы 29
- •5.9. Вопросы для самопроверки 31
- •6.11.3. Вопросы для самопроверки 40
- •7.6. Задачи для самостоятельной работы 46
- •Введение
- •1. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Векторы в евклидовом пространстве
- •1.2. Проекция вектора
- •1.3. Декартовы прямоугольные координаты
- •1.4. Координатное представление векторов
- •1.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме
- •1.6. Скалярное произведение векторов
- •1.6.1. Свойства скалярного произведения:
- •1.6.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •1.6.3. Угол между векторами
- •1.6.4. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов
- •1.7. Векторное произведение двух векторов
- •1.7.1. Свойства векторного произведения
- •1.7.2. Координатная форма записи векторного произведения
- •1.8. Смешанное (векторно - скалярное) произведение векторов
- •1.8.1. Свойства смешанного произведения
- •1.8.2. Координатная форма записи смешанного произведения
- •1.9. Двойное векторное произведение трех векторов
- •1.10. Вопросы для самопроверки
- •Свойства скалярного произведения.
- •Координатная форма записи векторного произведения.
- •2. Понятие об уравнениях линий и поверхностей
- •3. Прямая линия
- •3.1. Параметрические и канонические уравнения прямой
- •3.2. Общее уравнение прямой на плоскости
- •3.7. Вопросы для самопроверки к разделу 3
- •4.2. Поворот осей координат
- •5. Кривые второго порядка
- •5.1. Окружность
- •5.2. Эллипс
- •5.3. Гипербола
- •5.4. Директрисы эллипса и гиперболы
- •5.5. Парабола
- •5.6. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •5.7. Решение типовых примеров
- •5.8. Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы к 5.8
- •5.9. Вопросы для самопроверки
- •Ответы к 5.9
- •Окружность.
- •6. Плоскость и прямая в пространстве
- •6.1. Общее уравнение плоскости
- •6.2. Уравнение в отрезках
- •6.3. Векторное и нормальное уравнение плоскости
- •6.4. Расстояние от точки до плоскости
- •6.5. Взаимное расположение двух плоскостей
- •6.6. Пучок плоскостей
- •6.7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •6.8. Уравнение прямой в пространстве
- •6.8.1. Общие уравнения прямой
- •6.8.2. Параметрические и канонические уравнения прямой
- •6.8.3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- •6.9. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •6.10. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •6.11. О решение задач аналитической геометрии на плоскость и прямую
- •6.11.1. Примеры решения типовых задач
- •6.11.2. Задачи для самостоятельного решения
- •6.11.3. Вопросы для самопроверки
- •Ответы к 6.11.2
- •Ответы к 6.11.3
- •7. Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка
- •7.1. Распадающиеся поверхности
- •7.2. Цилиндрические поверхности
- •7.3. Конусы второго порядка
- •7.4. Эллипсоиды и гиперболоиды
- •7.5. Параболоиды
- •7.6. Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы к 7.6
- •Контрольное задание
- •Контрольные вопросы
- •7. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.
- •Ответы к контрольному заданию
- •Литература
7.6. Задачи для самостоятельной работы
Для выполнения самостоятельной работы необходимо повторить материал:
Приложения квадратичных форм (часть I, 5.3), преобразование координат (часть II, 4.1-4.2)
1. Найти тип и каноническое уравнение поверхности второго порядка.
x2+2xy+6xz+5y2+2yz+z2=6
Решение. Выписываем матрицу А левой части уравнения и находим ее характеристические числа:
, =- 3+7 2-36=-( +2)( -3)( -6)=0
Следовательно, 1=-2, 2=3, 3=6, и поэтому канонический вид данного уравнения следующий:
-2у12 +3у22 +6у32=6 Þ
Это уравнение определяет однополосный гиперболоид с полуосями а=1, b= , с= .
2. определить тип и найти каноническое уравнение поверхностей второго порядка:
2.1. 2х2-2ху-4хz+5y2+2yz+2z2=3
2.2. 7х2-4ху+6у2-4уz+5z2=18
2.3. x2+4xy-8xy-2y2-4yz+z2=6
Ответы к 7.6
2.1. Эллиптический цилиндр.
2.2. Эллипсоид.
2.3. Двуполостный гиперболоид.
Контрольное задание
1. Упростить выражение x = 2( - 2 ) + 6
2. Заданы вершины треугольника А(-1, -2, 4), B(-4, -1, 2) и C(-5, 4, -6); BD- его высота. Найти координаты точки D (использовать скалярное произведение двух векторов ).
3. Сила F = 2 i - 4 j +5 k приложена к точке А (4, -2, 3). Определить момент этой силы относительно точки О(3, 2, -1).
4. Даны три силы: (2, -1, -3), (3, 2, -1) и (-4, 1, 3), приложенные к точке А(-1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующих этих сил относительно точки О(2, 3, -1).
5. Заданы прямая l: x - 1/2 = y/1 = z + 1/0 и точка М(0, 1, 2).
1.написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l.
2.написать уравнение плоскости, проходящей через прямую l и точку М.
6. Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями:
2 x - y - 3 = 0, x²/16 + y²/9 = 1
7. Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки F1(-3, -4) и F2( 3, 4), а расстояние между директрисами равно 3.6.
8. Написать уравнение параболы, если известны фокус F(4, 3) и директриса d: y + 1 = 0.
9. Записать уравнение кривой x² + y² =ax в полярной системе координат.
10. Определить, какие геометрические образцы определяются заданными уравнениями:
а) z + 5 = 0
б) ( x - 2 )² + y² + ( z + 1 )² = 16
в) x² + 2y² + 2z² + 7 = 0
г) x² - 4z² = 0
Контрольные вопросы
1. Дайте определение коллинеарности и компланарности двух векторов.
2. Операции над векторами, заданными в координатной форме. Найдите координаты суммы векторов: (1, 2, -3), (0, -2, 5), (4, 0, -2)
3. Дайте определение скалярного произведения. Укажите физический смысл скалярного произведения двух векторов.
4. Основные свойства скалярного произведения. Распространяется ли скалярное произведение на три и больше число векторов?
5. Запишите скалярное произведение в координатной форме.
6. Найдите углы, образуемые вектором (4, 0, -3) с осями координат, т.е. с векторами (1, ,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
7. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.
8. Дайте определение векторного произведения. Основные свойства. Векторное произведение в координатной форме.
9*. Доказать, что [ - , + ] =2 [ , ] и выяснить геометрический смысл этого тождества.
10*. Вектор [ , [ , ]] называется двойным вектором произведением заданных векторов. Доказать, что справедливо равенство [ , [ , ]] = ( , ) - ( , ).
11.* Доказать основное алгебраическое свойство смешанного произведения: циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т.е.
[ , ] = [ , ] = [ , ]
[ , ] = , , . Что означает эта запись?
12. Виды задания прямой на плоскости.
13. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и нормальным вектором (A, B).
1. написать уравнение прямой, привести его к общему виду.
2. привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.
14. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и направляющим вектором (m, n). Написать уравнение прямой, привести к общему виду..
15. Прямая l задана двумя своими точками M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2). Написать уравнение прямой.
16. Заданы прямая l и точка M. Требуется:
1. вычислить расстояние от точки M до прямой.
2. написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l.
3. написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М параллельно заданной прямой l.
17. Виды задания прямой в пространстве.
18. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки M0(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1) параллельно вектору (x, y, z).
19. Прямая l задана общим уравнениями
Написать каноническое уравнение этой прямой.
20. Заданы плоскость Р и точка М0. Написать уравнение плоскости Р1, проходящей через точку М0, параллельно плоскости Р. (P: Ax + By + Cz + D= 0; M0 (x0, y0, z0)).
21. Доказать что прямые
l1: и l2: (x + 7)/3 = (y - 5)/-1 = (z - 9)/4
параллельны.
22. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b и центром в точке С(x0, y0), если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям Ox и Oy соответственно.
23. Из фокуса параболы y²=12x под острым углом к оси OX направлен луч света, причем tg = 3/4. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.
24. Вывести уравнение прямой в полярной системе координат, если:
a) прямая проходит через полюс;
б) прямая не проходить через полюс.
25. Показать, что параметрические уравнения x = a cos t y = a sin t t [0.2], определяют окружность x² + a² = a².
26. Основные типы поверхности второго порядка.
27. Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду.