- •Содержание
- •5.8. Задачи для самостоятельной работы 29
- •5.9. Вопросы для самопроверки 31
- •6.11.3. Вопросы для самопроверки 40
- •7.6. Задачи для самостоятельной работы 46
- •Введение
- •1. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Векторы в евклидовом пространстве
- •1.2. Проекция вектора
- •1.3. Декартовы прямоугольные координаты
- •1.4. Координатное представление векторов
- •1.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме
- •1.6. Скалярное произведение векторов
- •1.6.1. Свойства скалярного произведения:
- •1.6.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •1.6.3. Угол между векторами
- •1.6.4. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов
- •1.7. Векторное произведение двух векторов
- •1.7.1. Свойства векторного произведения
- •1.7.2. Координатная форма записи векторного произведения
- •1.8. Смешанное (векторно - скалярное) произведение векторов
- •1.8.1. Свойства смешанного произведения
- •1.8.2. Координатная форма записи смешанного произведения
- •1.9. Двойное векторное произведение трех векторов
- •1.10. Вопросы для самопроверки
- •Свойства скалярного произведения.
- •Координатная форма записи векторного произведения.
- •2. Понятие об уравнениях линий и поверхностей
- •3. Прямая линия
- •3.1. Параметрические и канонические уравнения прямой
- •3.2. Общее уравнение прямой на плоскости
- •3.7. Вопросы для самопроверки к разделу 3
- •4.2. Поворот осей координат
- •5. Кривые второго порядка
- •5.1. Окружность
- •5.2. Эллипс
- •5.3. Гипербола
- •5.4. Директрисы эллипса и гиперболы
- •5.5. Парабола
- •5.6. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •5.7. Решение типовых примеров
- •5.8. Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы к 5.8
- •5.9. Вопросы для самопроверки
- •Ответы к 5.9
- •Окружность.
- •6. Плоскость и прямая в пространстве
- •6.1. Общее уравнение плоскости
- •6.2. Уравнение в отрезках
- •6.3. Векторное и нормальное уравнение плоскости
- •6.4. Расстояние от точки до плоскости
- •6.5. Взаимное расположение двух плоскостей
- •6.6. Пучок плоскостей
- •6.7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •6.8. Уравнение прямой в пространстве
- •6.8.1. Общие уравнения прямой
- •6.8.2. Параметрические и канонические уравнения прямой
- •6.8.3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- •6.9. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •6.10. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •6.11. О решение задач аналитической геометрии на плоскость и прямую
- •6.11.1. Примеры решения типовых задач
- •6.11.2. Задачи для самостоятельного решения
- •6.11.3. Вопросы для самопроверки
- •Ответы к 6.11.2
- •Ответы к 6.11.3
- •7. Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка
- •7.1. Распадающиеся поверхности
- •7.2. Цилиндрические поверхности
- •7.3. Конусы второго порядка
- •7.4. Эллипсоиды и гиперболоиды
- •7.5. Параболоиды
- •7.6. Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы к 7.6
- •Контрольное задание
- •Контрольные вопросы
- •7. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.
- •Ответы к контрольному заданию
- •Литература
7.6. Задачи для самостоятельной работы 46
Контрольное задание 48
Контрольные вопросы 48
Ответы к контрольному заданию 49
Ответы 50
Литература 51
Введение
Это пособие представляет собой курс лекций и практических занятий для самостоятельной работы студентов. Наряду с традиционной математикой это пособие содержит основные сведения применения линейной алгебры к исследованию и построению кривых и поверхностей второго порядка, а также приложение квадратичной формы к задачам аналитической геометрии.
1. Элементы векторной алгебры
1.1. Векторы в евклидовом пространстве
Из школьного курса математики известно, что вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, для которого указано какая точка, является началом и какая концом (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Если точка А начало, а В конец вектора, то вектор записывается в виде или . Длина вектора обозначается как | |, | |.
Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым. Векторы, расположенные на прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными и обозначаются . Векторы, лежащие на параллельных плоскостях или на одной и той же плоскости, называются компланарными.
В каждом классе векторов (например, перемещений, скоростей, сил, напряженности магнитного поля) можно определить операции, известные, как сложение векторов и умножение их на число.
Сложение производится либо, используя правило параллелограмма, либо - веревочного многоугольника.
Произведением вектора на число называется вектор , определяемый следующими условиями:
1).
2).
3). Векторы и одинаково направлены, если >0, и противоположно - если <0.
Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают свойствами векторных пространств:
1). .
2). .
3). , где 0 - нулевой вектор.
4). , где - противоположный вектор, 0 - нулевой.
5). , где , - числа.
6). .
7). .
8). .
Сложение векторов и умножение вектора на число со свойствами 1 - 8 называются линейными операциями над векторами.
Рассмотрим векторы на оси. Осью называется прямая на которой выбрано положительное направление. Величиной вектора на оси называется число равное длине вектора, взятой со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком минус - противоположно направлению оси. Величина вектора обозначается .
Пример. Пусть длина вектора | |=| |=5 . Найти величины этих векторов, если они расположены на оси l , как показано на рисунке 1.2.
=5, =-5.
Рис. 1.2
Очевидно, что величина суммы двух и большего числа векторов на оси равна алгебраической сумме величин слагаемых векторов.
Пример. Найти величину суммы векторов и на оси, (рис.1.3) если | |=3, | |=5 .
Решение.
+ =3+(-5)=-2.
Рис. 1.3
Имеет место утверждение: при любом расположении трех точек на оси величины векторов , и удовлетворяют соотношению + = (основное тождество).
Доказательство представлено на рис. 1.4, где показаны всевозможные случаи расположения трех точек A, B, C на оси l.
+ =
Рис. 1.4