6.11. О решение задач аналитической геометрии на плоскость и прямую

Чтобы научиться решать задачи на плоскость и прямую надо основательно усвоить разделы линейной алгебры, особенно теорию определителей, методы исследования и решения систем линейных уравнений; элементы векторной алгебры: понятие о векторах, действие над ними, скалярное, векторное и смешанное произведения.

6.11.1. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Привести к нормальному виду уравнение плоскости 2x + 3y - 6z + 14 = 0

Решение. Из (6.3) с использованием формулы (6.3.8) находим  = -1/7.

Нормальное уравнение данной плоскости имеет вид

Пример 2. Найти расстояние от точки М₁(1,2,3) до плоскости 2x + y - 3z + 5 = 0

Решение. Из (6.4.) с использованием формулы (6.4.2) находим

Пример 3. От общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Решение. Исключим из системы

переменную x и выразим z через y.

Результат этого действия обозначим через z=(y-y₀)/n₁ (y₀,n₁-числа). Далее из этой же системы исключим y и выразим z через x; пусть этот результат будет (x₀, m₁ - числа).

После этого получим каноническое уравнение прямой в таком виде:

(x-x₀)/m₁ = (y-y₀)/n₁ = z/1

Вывод: данная прямая проходит через точку М₀ (x₀, y₀ ,0) в направлении вектора (m₁,n₁,1)

Пример 4. Найти проекцию прямой (x-1)/2 = (y+1)/3 = (z-2)/-1 на плоскость 2x-3y-4z+5=0. Уравнения проекции привести к каноническому виду.

Решение. Запишем уравнение данной прямой в виде уравнения двух плоскостей

Далее, записываем уравнение пучка плоскостей (6.6): 3x - 2y – 5 + (x + 2z - 5) = 0. Выбираем из пучка плоскость, перпендикулярную к плоскости 2x - 3y - 4z + 5 = 0.

Для этого используем условие перпендикулярности двух плоскостей (6.5.5)

2(3 + ) + (-3)(-2) + (-4)2 = 0  12 - 6=0   = 2

Подставляя  = 2 в уравнение пучка, находим уравнение проектирующей плоскости:

5x - 2y + 4z - 15 = 0

Таким образом, искомая проекция определяется уравнениями

Остаётся эти уравнения привести к каноническому виду. Рекомендуется сделать самостоятельно, используя метод примера 3.

Ответ: (x - 5)/20 = (y - 5)/28 = (-7)/11

6.11.2. Задачи для самостоятельного решения

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (2, -3, 1) и перпендикулярной вектору (5, 0, 4).

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку (2, -1, 3). Найти углы, образуемые её нормалью с осями координат.

3. Найти угол между плоскостями 3x - 3y - z + 1 = 0 и x + 2y - 3z + 4 = 0

4. Указать взаимное расположение прямых

(x - 1)/1 = (y + 5)/(-2) = z/3 и (x + 3)/(-2) = y/4 = (z - 1)/(-6)

5. Найти угол между прямой и плоскостью x - 2y - z + 4 = 0.

6. Привести к каноническому виду уравнение прямой .

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(4,-3,1) и параллельной прямым: x/6 = y/2 = z/(-3) и (x + 1)/5 = (y - 3)/4 = (z - 4)/2.

8. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку (3,1,-2) и через прямую (x - 4)/5 = (y + 3)/2 = z/1.

9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, 0, -1) и В(1, -1, 3) перпендикулярно плоскости 3x + 2y - z + 5 = 0

10. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,-1,-5), перпендикулярно плоскостям 3x - 2y + 2z + 7 = 0 и 5x - 4y + 3z + 1 = 0.