7.1. Распадающиеся поверхности

Пусть F(x,y,z) есть произведение двух многочленов первой степени:

F(x,y,z)=(A₁x+B₁y+C₁z+D₁)(A₂x+B₂y+C₂z+D₂) (7.1.1.),

то поверхность распадается на пару плоскостей: Ax₁+B₁y+C₁z+D₁=0 и Ax₂+B₂y+C₂z+D₂=0.

7.2. Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность второго порядка задается в некоторой надлежаще выбранной для данной поверхности канонической системе координат уравнением:

F(x,y)=0 (7.2.1.)

Кривая, определяемая уравнением (7.2.1.) в плоскости Oxy, является направляющей кривой цилиндрической поверхности. Эта кривая может быть эллипсом, действительным или мнимым, гиперболой или параболой, в зависимости от чего мы и различаем эллиптические (рис. 7.1.), мнимые эллиптические, гиперболические (рис. 7.2.) и параболические (рис. 7.3.) цилиндры, канонические уравнения которых совпадают с каноническими уравнениями направляющих кривых.

рис.7.1. Эллиптический цилиндр. Каноническое уравнение

рис.7.2. Гиперболический цилиндр. Каноническое уравнение .

рис.7.3. Параболический цилиндр. Каноническое уравнение x²=2pZ.

Замечание. Если направляющая (7.2.1) есть пара прямых, то цилиндрическая поверхность выражается в пару плоскостей (пересекающихся, параллельных или совпадающих, действительных или мнимых - в зависимости от соответствующего свойства лежащей в основании пары прямых).

7.3. Конусы второго порядка

Под действительным конусом второго порядка понимается поверхность второго порядка, которая в прямоугольной системе координат задается уравнением:

(7.3.1.)

Это уравнение и система координат, в которой данный конус задается, называются каноническими для этого конуса (рис.7.4.).

рис.7.4.

Частным случаем конуса второго порядка является круглый конус, каноническое уравнение которого имеет вид:

x2+y2-k2z2=0, где k=tga (7.3.2.)

Плоскость, параллельная плоскости Oxy, пересекает конус (7.3.2.) по окружности.

Плоскости, параллельные плоскостям Oyz и Oxz, пересекают круглый конус по гиперболам.

Замечания. 1. Не только эллипс и гипербола, но и парабола является плоским сечением круглого конуса, как например, для уравнения x2+y2-Z2=0 (при k=1), сечение конуса плоскостью, заданной уравнением x-z+1=0 есть парабола.

2. Наряду с действительными конусами второго порядка существуют ещё и мнимые конусы, которые имеют вид

7.4. Эллипсоиды и гиперболоиды

Эллипсоидом (вещественным) называется поверхность, имеющая в некоторой ("канонической" для нее) прямоугольной системе координат ("каноническое") уравнение:

(7.4.1.) (рис.7.5)