1.7. Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется новый вектор , обозначаемый символом

или (1.7.1)

и определяемый следующими тремя условиями:

1) Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и (после совмещения их начал), т.е.

, (1.7.2)

где - угол между векторами и (рис.1.11).

Рис.1.11

2). Вектор перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма (т.е. перпендикулярен обоим векторам и ).

3). Вектор направлен в ту сторону от этой плоскости, что кратчайший поворот от вектора к вектору вокруг вектора (после смещения начал всех трех векторов) кажется происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора . Векторы , , образуют правую тройку векторов.

Замечание. Правую тройку образуют, например, большой, указательный, и средний пальцы правой руки; при пользовании левой системой координат в определении векторного произведения вместо правой берут левую тройку , , .

Своим прообразом произведение двух векторов имеет в механике операцию отыскания момента силы относительно точки. Именно, если в некоторой точке А приложена сила , то момент этой силы относительно определенной точки О есть вектор, который в принятом нами обозначении (1.7.1) должен быть записан в виде , где - вектор, идущий из точки О в точку А.

1.7.1. Свойства векторного произведения

1).

2). , т.е. векторное произведение антикоммутативно.

3). , т.е. векторное произведение обладает распределительным свойством.

4).

1.7.2. Координатная форма записи векторного произведения

Коротко векторное произведение записывается в виде определителя 3-го порядка:

, (1.7.2.1)

где - координаты вектора в прямоугольной системе координат Oxyz (т.е. проекции вектора на координатные оси Ox, Oy, Oz); - координаты вектора .

Координаты векторного произведения в прямоугольной системе координат можно найти разложив определитель (1.7.2.1) по элементам первой строки с учетом векторного произведения ортов :

,

(1.7.2.2)

(1.7.2.3)

1.8. Смешанное (векторно - скалярное) произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов , и . называется произведение вида

, (1.8.1)

где первых два вектора перемножаются векторно, а их произведение умножается скалярно на третий вектор .

Смешанное произведение трех векторов - величина скалярная.

Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов , и равна объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах, а знак его зависит от ориентации этих векторов: если векторы , и образуют правую тройку, то их смешанное произведение будет положительно; для левой же тройки произведение - отрицательно.

1.8.1. Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не изменяется:

а). Если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке:

б). Если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения:

Это позволяет записывать смешанное произведение трех векторов в виде без знаков векторного и скалярного умножения.

2. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак:

, , .

Действительно, используя равенства

;

имеем:

3. Смешанное произведение обращается в нуль, если:

а). Хотя бы один из перемножаемых векторов ест нуль - вектор,

б). Два из перемножаемых векторов коллинеарны,

в). Три перемножаемых вектора компланарны.