6.11.3. Вопросы для самопроверки
1. Записать общее уравнение плоскости. Что означают коэффициенты А, В, С, при x,y,z?
2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(x0,y0,z0) с вектором нормали (A,B,C) в векторной и координатной формах.
3. Написать каноническое уравнение плоскости.
4. Пусть прямая задана в виде (x - x0)/m = (y - y0)/n = (z - z0)/p.
При m = 0 (x - x0)/m = (y - y0)/o = (z - z0)/p. Какую прямую определяет эта система уравнений?
5. Как расположена в пространстве прямая x/1 = y/1 = z/0 ?
6. Каноническое уравнение прямой: (x - x0)/0 = (y - y0)/0 = (z - z0)/p.
Какая прямая определяется этой системой уравнений?
7. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях прямой
чтобы прямая: 1) была параллельна Оx
2) лежала в плоскости Oxz
3) была бы параллельна плоскости Oyz
8. Указать особенности в расположении следующих прямых:
а)
б)
9. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости Oxz и проходящей через точку (2, -5, 3).
10. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки:
(3,1,0); (0,7,2); (-1,0,-5); (4,1,5)
Ответы к 6.11.2
1. 5x - 4z – 6 = 0
2.
3x - 2z = 0;
,
cos
= 0,
3.
4. Прямые параллельны
5.
6. x/9 = y/5 = z + 3/1
7. 16x - 27y + 14z - 159 = 0
8. 8x - 9y - 22z - 59 = 0
9. Указание. В качестве нормального
вектора
искомой плоскости можно взять вектор,
перпендикулярный вектору
(-1,-1,4)
и нормальному
(3,2,-1)
данной плоскости. Поэтому за
примем векторное произведение
и
:
= [ , ] = 11i - 7j - 2k
Далее, воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору (6.1.).
Ответ: 7x - 11y - z - 15 = 0.
10. Указание. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение нормальных векторов данных плоскостей, далее см. пример9.
Ответ: 2x + y - 2z - 15 = 0
Ответы к 6.11.3
1. А, В, С при x, y, z в уравнении Ax + By + Cz + D = 0 есть координаты нормального вектор (A,B,C), перпендикулярного к данной плоскости.
2. Ax
+ By + Cz + D = 0;
=
-
(
,(
-
))
= 0
4. Эта система определяет прямую, перпендикулярную к оси Оx. Прямая лежит в плоскости x = x0, и поэтому для всех её точек будет x - x0 = 0.
5. Эта прямая проходит через начало координат.
6. Прямая параллельна оси Оz.
7. 1) А = 0; А1 = 0
2) А/А1 = С/С1 = D/D1
3) В/В1 = С/С1
8. а) Прямая проходит через начало координат.
б) совпадает с осью Оy.
9. y + 5 = 0.
10. Указание. Если четыре точки (x1, y1, z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3), (x4,y4,z4) лежат в одной плоскости, то вычисляется соотношение:
Нельзя.
7. Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка
В аналитической геометрии поверхность рассматривается как множество точек в пространстве.
Уравнением поверхности называется такое уравнение между переменными x, y, z, которому удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей ей.
Следовательно, если известно уравнение поверхности
F(x,y,z)=0, (7.1.)
то легко решить вопрос о принадлежности к этой поверхности любой точки пространства.
В этом разделе будут перечислены основные виды поверхностей второго порядка. Система координат предлагается прямоугольной.