1.6. Проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций

Для полного выявления наружных и внутренних форм слож­ных деталей и их соединений, для решения ряда задач бывает необходимо три и даже более изображений. Поэтому вводят три и более плоскостей проекций.

Система V, H, W. Введем в систему V, H третью вертикаль­ную плоскость проекций (рис. 1.15), перпендикулярную к оси x и соответственно к фронтальной и горизонтальной плоско­стям проекций. Ее называют профильной плоскостью проек­ций и обозначают W. Такую систему плоскостей проекций называют системой V, H, W. В этой системе оси проекций z и у являются линиями пересечения профильной плоскости проекций с фронтальной и горизон­тальной. Точка О – пересечение всех трех осей проекций.

Схема совмещения трех взаимно перпендикулярных плос­костей проекций в одну плоскость чертежа показана на рисун­ке 1.16. При этом ось у занимает два положения. Наглядное изображение некоторой точки А и ее проекции a', а, а" в системе V, H, W, приведено на рисунке 1.17, ее чертеж – на рисунке 1.18.

Профильной проекцией точки называется прямоугольная про­екция точки на профильной плоскости проекций (например, проекция а" на рис. 1.18). Фронтальная и профильная проекции точки (a' и a") лежат на одной линии связи (a'a"), пер­пендикулярной оси z. Профильную проекцию точки строят не­сколькими способами (рис. 1.18).

Рис.1.15 Рис.1.16 Рис.1.17 Рис. 1.18

Через фронтальную проекцию проводят линию связи, пер­пендикулярную к оси z, и от оси z отмечают координату у_а (отрезок аа_х).

Это построение можно выполнить также с помощью дуги окружности, проведенной из центра О, или с помощью пря­мой, проведенной под углом 45° к оси у. Первый из указанных способов предпочтителен как более точный.

1.7. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат.

Модель положения точки в системе H, V, W (рис.1.17) аналогична модели, ко­торую можно построить, зная прямоугольные координаты (иначе – «декартовы координаты») этой точки, т. е. числа, выражающие ее расстояния от трех взаимно перпендикулярных плоскостей – пло­скостей координат. Прямые, по которым пересекаются плоскости координат, назы­ваются осями координат. Точка пересечения осей координат называется началом координат и обозначается буквой О (начальная буква латинского слова «origo» – начало). Для осей координат будем применять обо­значения, показанные на рис. 1.17.

Плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных углов, деля пространство на восемь частей – восемь октантов (оcto (лат.) – восемь). На рис. 1.17 изобра- ­жен один из октантов. Показано образование отрезков, определяющих координаты некоторой точки А: из точки А проведены перпендикуляры к каждой из плоскостей координат. Первая координата точки А, называемая ее абсциссой (аbscissa (лат.) – отсечен– ная, отделенная), выразится чис­лом, полученным от сравнения отрезка Aа" (или равного ему отрезка Оа_х на оси x) с некоторым отрезком, принятым за единицу масштаба. Также отрезок Aа' (или равный ему отрезок Оа_у на оси у) определит вторую координату точки А, называе­мую ординатой (оrdinata (лат.) – от ordinatim ducta (лат.) – подряд проведенная); отрезок Aа (или равный ему отрезок Оа_z на оси z) – третью координату, называемую аппликатой (аpplicata (лат.) – приложенная).

При буквенном обозначении координат абсцисса указывается буквой x, ор­дината – у, аппликата – z.

Построенный на рис.1.17 параллелепипед называют параллелепипедом координат данной точки А. Построение точки по заданным ее координатам сводится к по­строению трех ребер параллелепипеда координат, составляющих трехзвенную ло­маную линию (рис.19). Надо отложить последовательно отрезки Оа_х, а_ха и аА или Оа_у, а_уа" и а"A и т. п., т. е. точку А можно получить шестью комбинациями, в каждой из которых должны быть все три координаты.

На рис.1.19 для наглядного изображения взята известная из курса черчения средней школы проекция, называемая кабинетной. В ней оси x и z взаимно перпендикулярны, а ось у является продолжением биссектрисы угла xOz. В кабинетной проекции отрезки, отклады­ваемые по оси у или параллельно ей, сокращаются вдвое.

Рис.1.19 Рис.1.20 Рис.1.21

Рисунок 1.19 показывает, что построение проекций точки сопровождается построе­нием отрезков, определяющих координаты этой точки, если принять плоскости проекций за плоскости координат. Каждая из проекций точки А определяется дву­мя координатами этой точки; например, положение проекции а определяется координатами x и у.

Положим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А определяется координатами x = 7, у = 3, z = 5. Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то (рис.1.21) откладывают на оси x от некоторой точки О отрезок Оа_х, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки а_х, от­резки а_ха = 3 ед. и а_ха' = 5 ед. Получаем проекции а и а' . Для построения до­статочно взять только ось x.

Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по данным ее проекциям. Например, на рис. 1.18 отрезок Оа_х выражает абсциссу точки А, отрезок а_ха – ее ординату, отрезок а_ха' – аппликату.