6. Кривые линии

6.1. Общие сведения о кривых линиях и их проецировании

Кривую линию можно рассматривать как траекторию дви­жения точки на плоскости или в пространстве, а также как совокупность точек, удовлетворяющих определенному уравне­нию. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой поверхностей или поверхности и плоскости.

Кривая линия определяется положением составляющих ее точек. Точки кривой определяются их координатами.

Кривую линию называют плоской, если все точки линии лежат в одной плоскости, и пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости. Примеры плоских кривых ли­ний – окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда; при­меры пространственных кривых – винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса, оси которых не пересекаются. Для построения про­екций кривых линий строят проекции ряда принадлежащих ей точек (рис. 6.1).

Рис.6.1

Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая – также в виде плоской или в виде прямой линии если кривая находится в проецирующей плоскости. Кривая представляющая собой прямоугольную проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка. Эллипс и окружность проецируются в эллипс (см. рис.6.3) или в частном случае в окружность; проекция параболы – парабола, гиперболы – гипербола.

Касательная к кривой проецируется в общем случае в виде касательной к проекции этой кривой. Например, на рисунке 6.1 касательная DC в точке 3 к кривой АВ проецируется на плос­кость P в виде касательной d_pc_p в точке З_р к проекции а_рb_р кри­вой. Проецирующая плоскость, проходящая через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Рис.6.2

Длина некоторого участка кривой линии определяется при­ближенно путем замены кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую, и измерением длины звеньев этой ломаной линии (если длину нерационально определять расчетом). Для уменьшения ошибки отрезки ломаной берут мало отличающимися по длине от дуг кривой, хордами которых являются эти отрезки. Пример раз­вертки кривой АBС приведен на рисунке 6.2: горизонтальная про­екция – кривая abc – разбита на малые части и «развернута» в прямую на оси x так, что отрезки a₀ 1₀, 1₀2₀, и т.д. соответственно равны хордам a1, 1 2 и т. д.; в точках а₀, 1₀, 2₀ и т. д. проведены перпендикуляры к оси x, и на них отложены аппликаты точек кривой. Длина ломаной, проходящей через точки развернутой кривой, может быть приближенно принята за длину кривой ABC.

6.2. Построение проекций окружности

При выполнении чертежей деталей нередко возникает не­обходимость изображения окружностей, плоскости расположе­ния которых не параллельны плоскостям проекций. Например, на рисунке 6.3 окружность расположена в пространстве в плос­кости Q. В этом случае окружность проецируется в эллипс (рис.6.3), а любая пара ее взаимно перпендикулярных диаметров проецируется парой сопряжен­ных диаметров эллипса. Диаметр 1–2 окружности, параллельной плоскости проекций, проецируется без искаже­ния и является для эллипса-проекции большой осью (отрезок 1_Р2_Р). Осталь­ные диаметры проецируются отрезка­ми меньшей длины. Диаметр 3–4, перпендикулярный к диаметру 1–2, проецируется как малая ось 3_Р4_Р эллип­са: (1– 2) (3–4), (1–2) P, следовательно,

(3_Р4_Р) (1_Р2_Р).

Рис.6.3

Пример построения горизонтальной проекции окружности, расположенной во фронтально-проецирующей плоскости, при­веден на рисунке 6.4.

Рис.6.4

Фронтальная проекция 1'0'2' окружности совпадает с фронтальной проекцией P_v фронтально-проециру­ющей плоскости. Фронтальная проекция 3' 4' диаметра окруж­ности, перпендикулярного плоскости проекции V, совпадает с фронтальной проекцией o' центра окружности. Горизонталь­ная проекция 3–4 этого диаметра, проецирующегося без иска­жения, является большой осью эллипса-проекции. Диаметр с фронтальной проекцией 1'2' на горизонтальной проекции яв­ляется малой осью 1–2 эллипса-проекции. На горизонтальной проекции показано построение одной из произвольных точек эллипса-проекции.

Пример построения проекций окружности, расположенной в плоскости общего положения, приведен на рисунке 7.5. Плос­кость задана проекциями а' и а фронтали и b' и b горизонтали, пересекающимися в центре окружности с проекциями o', о. Радиус окружности – r. Построение можно выполнить, напри­мер, методом перемены плоскостей проекций, что позволяет свести задачу к ранее рассмотренной (см. рис. 6.4). Заменив системы V, H на систему плоскостей проекций V, T, где T V, можно построить фронтальный эллипс-проекцию с большой осью | 1'2' | = 2r и малой 3'4', которая построена по проекции | 3_t4_t | = 2r диаметра окружности на плоскости проекций Т. Заменив систе­му V, Н на систему плоскостей проекций P, H где P H, мож­но построить горизонтальный эллипс-проекцию с большой осью 5–6 и малой 7–8, которая построена по проекции | 7_Р8_Р | = 2r диаметра окружности на плоскости проекций H. Заметим, что угол наклона оси 7–8 к плоскости Н как перпендикуляра к го­ризонтали 5–6 (5'6') выражает величину угла наклона плоскости, в которой расположена окружность, к горизонтальной плос­кости проекций, а оси 4–3 – к плоскости V.

Рис.6.5

Отметим, что чертежи кривых, координаты последователь­ных точек которых могут вычисляться на цифровых вычисли­тельных машинах, весьма быстро выполняются современными техническими средствами – графопостроителями, управляе­мыми от электронных вычислительных машин.