8.7. Развертка гранных поверхностей

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью всех его гра­ней. Развертывание гранных поверхностей выполняют для про­ведения раскроя листового материала при изготовлении деталей или определения площади поверхности деталей, покрываемых различными материалами. Определение площади важно при различных покрытиях, выполняемых как с декоративными целями, так и с целью придания поверхности определенных свойств, например повышенной электропроводности, а также при различных химических методах обработки поверхностей.

Для построения развертки гранной поверхности необходи­мо определить размеры ее граней. Заметим, что построение любой грани многогранника может быть выполнено путем раз­бивки ее на треугольники. Длина сторон треугольника в свою очередь может быть определена любым из известных методов.

Развертка поверхности пирамиды. Построение развертки боковой поверхности пирамиды можно проводить в следующей последовательности:

• определить длину ребер и сторон основания пирамиды;

• выполнить чертеж развертки последовательным построени­ем треугольников – граней пирамиды.

Пример построения развертки поверхности треугольной пи­рамиды SABC приведен на рисунках 8.14 и 8.15.

Рис.8.14 Рис.8.15

Для удобства построения на рисунке 8.14 боковые ребра пирамиды продолже­ны до пересечения с плоскостью H. Это позволило определить на горизонтальной проекции длину отрезков 1– 2, 2– 3, 3– 4 нового основания пирамиды. Длина боковых ребер S–1, S–2, S–3 най­дена вращением их вокруг вертикальной оси– отрезки s'1'₁, s'2'₁, s'3'₁. Ha них найдены отрезки s'a'₁, s'b'₁, s'c'₁. По найденным отрезкам на рисунке 8.15 построена развертка боковой поверхно­сти S₀1₀2₀3₀1₀ и затем S₀A₀B₀C₀A₀. Ha отрезке А₀С₀ построе­на натуральная величина треугольника А₀В₀С₀ по сторонам A₀B₀ и С₀B₀, найденным способом прямоугольного треугольника.

Построение развертки призматической поверхности можно производить несколькими способами – нормального сечения, треугольников.

При способе нормального сечения построение развертки призматической поверхности целесообразно выполнять в сле­дующем порядке (рис. 8.16):

• пересечь призматическую поверхность вспомогательной плос­костью, перпендикулярной к ее ребрам (P 1 – 2; нормальное сечение);

• развернуть построенную ломаную линию (А₀В₀С₀D₀) пересе­чения вспомогательной плоскости с призматической поверх­ностью, определив длину ее отрезков (А₀В₀ , В₀С₀ С₀D₀;

• на перпендикулярах к развернутой линии пересечения (А₀D₀) отложить длину отрезков ребер призматической поверхности (А₀ 2₀, В₀3₀ , В₀4₀, С₀5₀ , С₀ 6₀, D₀7₀, D₀ 8₀ и со­единить их концы отрезками прямых.

Рис.8.16

Пример построения развертки боко­вой поверхности наклонной призмы на чертеже приведен на рисунке 8.17 и 8.18.

Рис.8.17 Рис.8.18

Для построения вспомогательной плоскости P, перпендикулярной ребрам призмы, выбрана дополнительная плос­кость проекций T, параллельная реб­рам призмы и перпендикулярная плоскости H. Вспомогательная плос­кость P задана следом P_t на плоскости проекций T перпендикулярно ребрам призмы. Проекции на плоскости T то­чек пересечения ребер призмы с плоскостью Р отмечены 1_t , 2_t , 3 _t, . На плос­кость T боковые ребра призмы про­ецируются в натуральную величину. Натуральная величина отрезков линии пересечения 1 – 2 – 3 плоскостью P, перпендикулярной ребрам, определе­на на плоскости S (пл. S T).

По способу треугольников разверт­ка призматической поверхности заклю­чается в следующем: четырехугольники (грани) разбивают диагоналями на тре­угольники; определяют длины сторон треугольников; выполняют чертеж развертки последовательным построением треугольников, на которые разбиты грани.

Контрольные вопросы к главе 8.

1. Как задают на чертеже призматическую поверхность?

1. Какие признаки позволяют установить, что на чертеже изображе­на призма (или параллелепипед)?

2. Как задают поверхность пирамид?

3. Как определяют высоту пирамиды?

4. Как определяют угол между гранями?

5. Как строят фигуру, получаемую при пересечении призмы или пи­рамиды плоскостью?

6. Как строят точки пересечения прямой линии с гранями призмы или пирамиды (точки входа и выхода)?

7. Как строят сечение призмы плоскостью, параллельной ее боковым ребрам?

8. Как строят сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ее вершину?

9. Как строят линию пересечения одной гранной поверхности другой?

10. По каким схемам можно производить развертывание поверхностей призмы и пирамиды?