9.5. Пересечение прямой линии с поверхностью.

Для построения точки пересечения прямой линии AB (рис. 9.16) с кривой поверхностью Q выполняют следующие построения:

– заключают прямую линию во вспомогательную проецирующую плоскость, например плоскость T;

– строят линию пересечения CD вспомогательной проецирую­щей плоскости T с заданной поверхностью;

– определяют точку пересечения К прямой AB с построенной линией пересечения CD

Рис.9.16.

С замкнутой поверхностью прямая пересекается в двух и более точках. Если прямая пересекает поверхность в одной точке, то она обычно является касательной к поверхности.

Вспомогательную проецирующую плоскость, проводимую через прямую при построении точек пересечения прямой с по­верхностью, стремятся выбрать так, чтобы она пересе­кала поверхность по линии, простейшей для построения на чер­теже. Желательно, чтобы это были прямые или окружности. Рассмотрим некоторые примеры.

Построение точек пересечения прямой линии с цилиндром (рис. 9.17).

Рис.9.17

Для построения точек пересечения прямой AB общего положения с поверхностью наклонного кругового цилиндра выберем вспомогательную плоскость, параллельную оси цилиндра. Эта плоскость пересекает цилиндр по прямым – образующим, параллельным оси.

В соответствии с общим пла­ном решения задачи на рисун­ке 9.17 выполнены построения в следующем порядке:

– прямая AB заключена во вспо­могательную плоскость, параллельную оси цилиндра, для чего через проекции m', m произ­вольной точки M на прямой AB проведены проекции m'n', mn прямой MN, параллельной оси цилиндра. Проекции пересекаю­щихся прямых AB и MN задают на чертеже вспомогательную пло­скость;

– построены проекции 3'5', 3–5 и 4'6' 4–6 линий пере­сечения вспомогательной плоскости с поверхностью цилинд­ра. Для этого построена горизонтальная проекция линии пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью осно­вания цилиндра – плоскостью H, проходящая через проек­ции 1 и 2, найдены точки с проекциями 3, 4 ее пересечения с окружностью основания цилиндра. Искомые проекции ли­ний пересечения вспомогательной плоскости с поверхно­стью цилиндра проходят через проекции 3', 3 и 4', 4 парал­лельно проекциям оси цилиндра – проекции 3'5', 3 –5 и 4'6', 4 – 6;

– определены проекции k', k и l', l искомых точек К и L пере­сечения прямой AB с поверхностью цилиндра в пересечении проекций З'5' и 4'6' с а'b' и 3–5 и 4–6 с ab;

– определена видимость для участков прямой AB с учетом того, что цилиндр непрозрачен. Зоны видимости на фрон­тальной проекции определены по положению горизонталь­ных проекций точек 3 и 4 цилиндра. При взгляде по стрелке S очевидно, что точки 3, 5 и соответственно образующая 3–5 видимы, а точки 4, 6 и образующая 4–6 невидимы. Соот­ветственно на фронтальной проекции отрезок a'k' проекции прямой видим. Справа от точки k' прямая до точки l' прохо­дит внутри цилиндра и справа от точки l' закрывается ци­линдром, т. е. невидима. На горизонтальной проекции образующие 3–5 и 4–6 видимы, невидимая часть прямой AB – отрезок kl.

Построение точек пересечения прямой линии с конусом (рис. 9.18).

Рис. 9.18

Чертеж конуса с проекциями вершин s, s' и пря­мой с проекциями a'b', ab приведен на рисунке 9.18, а. Для построения точек пересечения прямой и конуса используют вспомога-тельную плоскость. Плоскость, проходящая через вер­шину конуса и заданную прямую (плоскость P на рис. 9.18, в), пересекает конус по образующим. Плоскость Р пересекает плос­кость основания конуса по прямой DE, являющейся в данном случае горизонталью. Образующие, по которым плоскость P пересекает конус, определяются вершиной S и точками 1 и 2. На этих образующих и получаются точки M и N, в которых прямая пересекает поверхность конуса.

На рисунке 9.18, б плоскость Р задана проекциями a'b', ab прямой AB и проекциями s'c', sc прямой, в данном случае горизонтальной, проведенной через вершину S, пересекаю­щей прямую AB в точке С и параллельной плоскости основа­ния конуса. Плоскость P пересекает плоскость основания конуса по прямой DE, параллельной SC. Построив проекции d' и d, проводим de║sc. Образующие, по которым плоскость P пе­ресекает поверхность конуса, изображены лишь горизонтальны­ми проекциями s–1 и s–2. В пересечении их с горизонтальной проекцией ab найдены горизонтальные проекции m и n точек пересечения, а по ним проекции m' и n'. На горизонтальной проекции отрезок прямой между точками М и N закрыт поверх­ностью конуса. На фронтальной проекции образующие S–1 и S–2 видимы. Следовательно, невидимый отрезок прямой AB находится только между проекциями m' и n'.

П остроение точки пересечения прямой линии со сферой (рис. 9.19). Используя вспомогательную секущую плоскость, проходящую через данную прямую, получают окружность. Ис­комые точки К и L получаются при пересечении этой окружно­сти прямой линией. На рисунке 9.19 построения выполнены способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций S выбирают параллельной вспомогатель­ной, например горизонтально-проецирующей плоскости R (R_h). B этом случае линия пересечения вспомогательной плос­кости с поверхностью сферы проецируется на плоскость S в окружность с центром c_s, с которой проекция a_sb_s прямой ли­нии пересекается в точках k_s и l_s. По ним строят горизонтальные k и l и фронтальные k'и l' проекции искомых точек пересечения.

Зоны видимости участков пря­мой AB. На фронтальной проек­ции точки К (k') и L (l') видимы (они на передней полусфере). Сле­довательно, видимы в проекции лучей a'k' и lb' прямой. Между точками k' и l' сфера закрывает прямую. На горизонтальной про­екции видимым является луч lb прямой (точка L находится на верх­ней полусфере). Слева от проек­ции l горизонтальная проек-

ция прямой закрыта сферой.

Рис.9.19

Построение точки пересечения прямой линии с тором (рис. 9.20). Построение выполняют, руковод­ствуясь общим правилом. В каче­стве вспомогательной плоскости выбира-

ю т, например, горизонталь­но-проецирующую плоскость R (R_h). Построение проекции линии пере­сечения вспомогательной плоско­сти с поверхностью тора начинают обычно с построения проекций ха­рактерных точек 1', 1 – крайней левой и 2', 2 – крайней правой и 3', 3 – высшей точки. (Характер­ные точки линии пересечения m – это высшие и низшие точки по отно­шению к плоскости Н ближайшие и наиболее удаленные точки по от­ношению к наблюдателю; точки, проекции которых отделяют види­мую часть проекции линии пере­сечения от невидимой; точки, лежащие в плоскости симметрии; точки пересечения трех поверхнос­тей – при наличии трех и более пе­ресекающихся поверхностей.)

Для построения проекции 3' проводят горизонтальную проекцию параллели тора, касательной к плос­кости R, и на ее фронтальной проекции находят проекцию 3'. Проекции промежуточных точек линии пересечения,

Рис.9.20 например точки 4', 4, 5', 5, находят с помощью паралле-

ли, проходящей через точку с проекциями k', k. Построенные фронтальные проекции точек соединяют плавной кривой линией, точки пе­ресечения которой m' и n' с фронтальной проекцией a'b' прямой AB являются фронтальными проекциями искомых точек пересечения прямой AB с поверхностью тора. По ним в про­екционной связи строят горизонтальные проекции m и n точек пересечения. Невидимый отрезок MN прямой AB проведен штриховой линией.

Контрольные вопросы к главе 9.

1. Как строят линию пересечения поверхности плоскостью?

2. По каким линиям пересекаются цилиндр вращения плоскостями?

3. В каком случае эллипс, получаемый при пересечении цилиндра вращения, ось которого вертикальна, фронтально-проецирующей плоскостью, проецируется на профильную плоскость проекций в окружность?

4. В чем заключается общий прием построения линии пересечения конической поверхности плоскостью?

5. Как надо провести плоскость, чтобы пересечь коническую поверх­ность по прямым линиям?

1. Какие кривые получаются при пересечении конуса вращения пло­скостями?

6. Как строят малую ось эллипса, получаемого при пересечении конуса вращения плоскостью?

7. Как строят развертку боковой поверхности конуса вращения?

8. По каким линиям сферу пересекает любая плоскость и какие могут быть проекции этой линии?

10. В чем заключается способ построения сечения тора плоскостью?

11. Как должны быть направлены плоскости, пересекающие тор по окружностям?

12. Что мы понимаем под названием «кривая (линия) среза»?

13. В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой линии с кривой поверхностью?

14. Как провести вспомогательную секущую плоскость при пересечении конуса прямой линией, чтобы получить на поверхности конуса пря­мые линии?