10.4. Применение вспомогательных сфер с переменным центром

Способ секущих сфер с переменным центром для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следую­щих условиях:

а) одна из пересекающихся поверхностей – поверхность вращения, другая поверхность имеет круговые сечения;

б) обе поверхности имеют общую плоскость симметрии (т. е. ось поверхности вращения и центры круговых сечений второй поверхности принадлежат одной плоскости – плоскости их симметрии);

в) плоскость симметрии параллельна плоскости проекций (это условие при необходимости может быть обеспечено преобразованием чертежа).

Рассмотрим некоторые примеры применения этого способа.

Построение линии пересечения прямого кругового конуса и наклонного кругового цилиндра (рис.10.8), оси которых пере­секаются. Пересекающиеся поверхности имеют общую плос­кость симметрии, параллельную плоскости V и проходящую через их оси. Относительно этой плоскости симметрична и линия пересечения поверхностей. В дальнейшем изложении будут указываться построения проекций только видимых точек линии пересечения. Из характерных точек можно отметить че­тыре с проекциями a', e', k', n'. Они являются точками пере­сечения проекций очерковых линий.

Рис.10.8

Для построения проекций промежуточных точек, напри­мер b', находят центр и радиус вспомогательной сферы. Для этого на цилиндре проводят окружность, фронтальная проекция которой изображается отрезком l'2'. Эту окружность можно рас­сматривать (рис. 10.8, а) как параллель множества сфер, центры которых лежат на перпендикуляре – линии центров, проведенном из точки с проекцией 3' центра кругового сечения к плоскости окружности с проекцией l'2'. Выберем (рис. 10.8, 6) из сфер такую, центр которой с проекцией о'₁ находится в точке пересе­чения линии центров сфер и оси конуса SO (s'o'). Эта сфера радиусом R₁ = o'₁1' = o'₁2' пересекает конус по окружности, про­ецирующейся в отрезок 4'5'. Окружности с проекциями 1'2' и 4'5' лежат на поверхности одной вспомогательной сферы радиуса R₁ и пересекаются между собой в двух точках, фронтальные про­екции которых совпадают. На чертеже отмечена проекция b' ви­димой точки. Проекции последующих точек строят аналогично. Точка с проекцией d' построена с помощью вспомогательной сферы радиуса R₂. Проекция o'₂ ее центра построена в пересече­нии проекции оси конуса с проекцией линии центров сфер к круговому сечению с проекцией 6'7' – перпендикуляром из про­екции 8' к плоскости этого кругового сечения.

Отметим, что центр O₂ второй сферы сместился относи­тельно центра O₁ первой сферы. Каждому круговому сечению наклонного цилиндра, используемому для построения линии пересечения, соответствует свой центр на оси конуса. Это и является основанием для названия способа – способ сфер с переменным центром.

Сфера радиуса R₂ использована и для построения точки с проекцией l'.

Горизонтальные проекции точек линии пересечения строят или с помощью одноименных образующих цилиндра, или на одноименных проекциях его кру­говых сечений.

П остроение линии пересече­ния прямого кругового конуса и тора, оси которых скрещиваются (рис. 10.9). Ось конуса параллель­на плоскости V, ось тора перпен­дикулярна плоскости V, окруж­ность центров осевых круговых сечений тора и ось конуса лежат в одной плоскости, параллельной плоскости V.

Две очевидные характерные точки: высшая с проекцией а' и низшая d' – являются точками пересечения проекций очерков тора и конуса. Для построе­ния проекций промежуточных точек, например проекции b', выполняют следующие построения. Выбирают на поверхнос­ти тора окружность, например с проекцией l'2' с центром в точке с проекцией 3'. Перпендикуляр к плоскости этой ок­ружности из точки с проекцией 3' является линией центров множества сфер, которые пересекают тор по окружности с проекцией l'2'. Из множества этих сфер выбирают сферу с центром на оси ко-

Рис.10.9 нуса. Его проекция o'₁. Эта сфера ради­усом R₁ пересекает ко-

нус по окружности с проекцией 4'5'. Пересечение проекций l'2' и 4'5' является проекцией пары общих точек тора и конуса, т.е. линии их пересечения. На чертеже обозначена проекция b' одной из указанных точек – точки на видимом участке линии пересечения.

Построение проекций второй пары точек линии пересече­ния, из которых обозначена проекция c', выполнено с помо­щью отрезка 6'7' – проекции окружности на поверхности тора. Вспомогательная сфера для построения проекции с' – сфера радиуса R₂ c центром, проекция которого о'₂. Конус эта сфера пересекает по окружности с проекцией 8'9'. В пересечении проекций 6'7' и 8'9' окружностей находим проекцию с' искомой точки и симметричной ей на невидимой части пересекаю­щихся поверхностей.