1.2 Електронні інтегратори.

Інтегруючим колом називається чотириполюсник, сигнал на виході якого пропорційний інтегралу від вхідного сигналу. Ідеальний інтегратор струму – конденсатор без втрат (рисунок 1.6). Якщо вхідною величиною є напруга, то ввімкнувши послідовно з конденсатором резистор досить великої величини можна перетворити напругу в струм і одержати інтегратор напруги (рисунок 1.6). При цьому струм i=(U_вх-U_вих)/R практично залежатиме тільки від напруги U_вх при U_вх>> U_вих:

. (1.16)

Ступінь наближення реального вихідного сигналу до істинного інтегрального значення вхідної напруги залежить від співвідношення U_вх>>U_вих. Із рівності (1.16) видно, що пропорційна постійній часу інтегруючого кола.

Тому для одержання найбільшого співвідношення U_вх>>U_вих, тобто для мінімальної похибки інтегрування необхідно, щоб стала часу RC кола була досить великою.

Із рівняння (1.16) маємо:

. (1.17)

Другий доданок являє собою похибку інтегрування

. (1.18)

Розглянемо випадок, коли на вхід інтегруючого кола подано одиничний імпульсний сигнал (рисунок 1.7, а). Його можна зобразити у вигляді суми двох одиночних сигналів

(рисунок 1.7, б):

та ,

тобто

Враховуючі, що інтегруюче коло лінійне, напругу на його виході можна зобразити у вигляді суми двох сигналів (рисунок 1.7, в):

та ,

тобто

.

У реальному інтегруючому RC – колі вихідна напруга визначається процесом заряду та розряду конденсатора й може бути зображена також у вигляді суми двох сигналів ₁ та ₂ (рисунок 1.7, г)

.

Похибка інтегрування на інтервалі 0…t_i можна зобразити у вигляді

.

Розклавши e^-t/ в ряд, одержимо

.

Із цього рівняння видно, що похибка інтегрування максимальна при t=t_i і тим менша, чим більше =RC.

Для підвищення точності інтегрування застосовують схему на операційному підсилювачі (рисунок 1.8).

Знайдемо вихідну напругу даної схеми:

,

де і .

Вихідна напруга:

,

де K_ОП – коефіцієнт підсилення операційного підсилення.

Рисунок 1.6. Конденсатор як інтегруючий елемент.

б)

в)

г)

a)

Рисунок 1.7. Інтегрування одиночного імпульсу.

Рисунок 1.8. Інтегратор на операційному підсилювачі.

Після підстановки отримаємо вираз для вихідної напруги:

.

Прийнявши, що отримаємо вирази для похибки і вихідної напруги:

(1.19)

(1.20)

1.3 Диференціатори.

Диференціюючим колом називається чотириполюсник, сигнал на виході якого пропорційний похідній від вхідного сигналу. Ідеальним диференціюючим колом є конденсатор без втрат (рисунок 1.9, а), який перетворює прикладену до нього вхідну напругу в струм, який змінюється пропорційно похідній dU_вх/dt. Для отримання напруги, яка змінюється за законом

, (1.21)

необхідно перетворити струм i, який протікає в колі, в напругу, включивши в коло резистор R (рисунок 1.9, б). При цьому опір резистора R повинен бути досить малим, щоб U_вих=iR змінювалась за законом, близьким до (1.21). Напруга на виході кола

, де .

Тому

,

а б

Рисунок 1.9. Диференційне коло.

а)

б)

Рисунок 1.10. Диференціювання одиночного імпульсу.

а)

б)

Рисунок 1.11. Диференціювання експоненціального імпульсу.

Якщо , то

.

Підставивши значення U_вих(t) в попередню нерівність, отримаємо

.

Із отриманого виразу випливає, що для застосування RC – кола як диференціюючого необхідно, щоб стала часу =RC була б якомога меншою. Але при цьому зменшуватиметься і вихідна напруга U_вих(t).

Розглянемо диференціювання одиночного прямокутного імпульсу (рисунок 1.10). Математична похідна в точках t=0 і t=t_i дорівнює , у решти точок вона дорівнює нулю.

У реальному диференціюючому RC – колі вихідна напруга U_вих(t) визначається процесами заряду і розряду конденсатора С. Напруга на виході диференціюючого кола

,

.

Графік вихідної напруги показаний на рисунку 1.10.

Максимальна похибка диференціювання спостерігається в точках t=0 і t=t_i, оскільки для ідеального кола вихідний сигнал нескінчений у цих точках, а в реальному не може перебільшувати U_m.

Розглянемо випадок диференціювання імпульсу, фронт якого змінюється за законом експоненти (рисунок 1.11, а)

при ,

де _ф – постійна часу, що визначає тривалість фронту.

Результат диференціювання такого сигналу ідеальним диференціюючим колом

(1.22)

тобто являє собою експоненційний імпульс (рисунок 1.11, б).

Результат диференціювання реальним RC – колом може бути знайдений на основі інтеграла Дюамеля

, (1.23)

де =RC – стала часу диференціюючого кола.

Імпульс такої форми називається двоекспоненційним. Похибка диференціювання

.

Із (1.22) та (1.23)

.

Тоді

Тобто похибка диференціювання тим менша, чим менша стала часу RC – диференціючого кола.