2.2. Теплопроводность цилиндрической стенки при граничных условиях первого рода

Д ано: Однородная цилиндрическая стенка (стенка трубы) с внутренним радиусом r₁, наружным – r₂, длиной , с постоянным коэффициентом теплопроводности λ, с постоянными температурами на поверхностях t₁ и t₂. (рис. 2.3).

Определить: уравнение температурного поля t = f (r), тепловой поток, передаваемый через стенку Q, Вт.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах (1.14) для условий данной задачи:

принимает вид

(2.15)

Граничные условия первого рода:

при r=r1 t=t1 ,	(2.16)
при r=r2 t=t2 .	(2.17)

Порядок решения системы уравнений (2.15) – (2.17) тот же, что и в случае плоской стенки: находится общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка (2.15), который содержит две константы интегрирования с₁ и с₂ . Последние определяются с помощью граничных условий (2.16) и (2.17) и после подстановки их значений в решение дифференциального уравнения (общий интеграл) получаем уравнение температурного поля цилиндрической стенки t = f (r) в виде

(2.18)

где r₁ r r₂ – текущий радиус.

Нетрудно убедиться, что при подстановке в (2.18) r= r₁ получим t=t₁ , при r=r₂ получим t=t₂. Распределение температуры по толщине цилиндрической стенки, в соответствии с (2.18) подчиняется логарифмическому закону (рис. 2.3).

Для определения теплового потока воспользуемся законом Фурье:

(2.19)

Если взять производную от правой части уравнения (2.18) и подставить в (2.19), получим расчетную формулу для теплового потока цилиндрической стенки

(2.20)

В технических расчетах часто тепловой поток вычисляется для 1 м длины трубы:

и называется линейной плотностью теплового потока.

Запишем уравнение (2.20) в виде

где – термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки.

Для трехслойной цилиндрической стенки (трубы, покрытой двумя слоями тепловой изоляции) с известными постоянными температурами поверхностей (t₁ и t₄), с известными геометрическими размерами (r₁ , r₂, r₃, r₄ , ) и коэффициентами теплопроводности слоев (λ₁, λ₂, λ₃) (рис. 2.4) можно записать следующие уравнения для теплового потока Q:

(2.21)

Совместное решение системы уравнений (2.21) дает расчетную формулу для теплового потока, передаваемого через трехслойную стенку при заданных температурах на поверхностях,

(2.22)

Температуры на границах слоев (t₂, t₃) можно рассчитать по уравнениям (2.21).

Для многослойной цилиндрической стенки, состоящей из п слоев, формулу (2.22) можно записать в общем виде

(2.23)

Эффективный коэффициент теплопроводности для многослойной цилиндрической стенки, как и для многослойной плоской стенки, определяется из равенства суммы термических сопротивлений многослойной стенки термическому сопротивлению однородной стенки той же толщины, что и многослойная. Так, для двухслойной тепловой изоляции трубы (рис. 2.4) эффективный коэффициент теплопроводности (λ_эф) определ ится из равенства