6.2. Основы теории подобия
Теория подобия – учение о подобных явлениях. Она позволяет на основе дифференциальных уравнений и условий однозначности создать теоретическую базу для постановки опытов и обработки их результатов.
Понятие подобия впервые было введено в геометрии, но оно распространяется и на физические явления. Последние считаются подобными, если они относятся к одному и тому же классу, протекают в геометрически подобных системах и подобны все однородные физические величины, характеризующие эти явления.
Для подобных физических явлений в сходственных точках и в сходственные моменты времени любая величина φ первого явления пропорциональна величине второго явления: φ=Сφ ∙ φ, где Сφ – константа подобия. Два промежутка времени τ′ и τ" называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны равенством τ′ / τ"=Сτ=const. При геометрическом подобии выполняется равенство
х′ / х"=у'
/ у"=z' / z"=
1'
/
1"
=
2'
/
2
"=C |
.
При кинематическом подобии имеет место подобие скоростей w′/w′′=Cw, при динамическом – подобие сил давления р′ /р"=СР , при тепловом – подобие температурных полей t'/t"=Ct .
Для физических явлений, определяемых множеством параметров, константы подобия этих параметров связаны между собой и не могут быть выбраны произвольно.
Уравнения, описывающие подобные физические явления, после приведения их к безразмерному виду становятся тождественными, при этом в сходственных точках все одноименные безразмерные величины будут одинаковыми.
Приведение к безразмерному виду системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена (1.12), (6.1) – (6.5) позволяет получить безразмерные комплексы, называемые числами подобия:
- число Нуссельта, характеризует
интенсивность конвективного теплообмена;
, м – геометрический размер;
- число Рейнольдса, характеризует
отношение сил инерции к силам вязкости;
- число Прандтля, характеризует
теплофизические свойства жидкости;
- число Грасгофа, характеризует
отношение подъемной силы, возникающей
вследствие разности плотностей жидкости
благодаря перепаду температур Δt,
к силам вязкости;
- число Фруда, характеризующее
отношение инерционных сил к силам
тяжести, и т.д.
Число Нуссельта (Nu) является определяемым числом в задачах конвективного теплообмена, т.к. содержит искомую величину – коэффициент теплоотдачи . Остальные числа подобия (Re, Pr, Gr, Fr…) называются определяющими и включают в себя величины, от которых зависит коэффициент теплоотдачи.
Таким образом,
Nu=f(Re, Pr, Gr, Fr…). |
(6.6) |
Функциональная зависимость между числами подобия типа (6.6) называется уравнением подобия. По уравнению подобия можно найти число Nu и рассчитать коэффициент теплоотдачи.
Основные положения теории подобия формулируются в виде трех теорем:
Подобные процессы должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями.
Условия однозначности подобных процессов (геометрические, физические, граничные и т.д.) должны быть одинаковы во всем, кроме численных значений размерных постоянных.
Одноименные определяющие числа подобия подобных процессов должны иметь одинаковую численную величину (Re'=Re", Gr'=Gr" и т.д.).
Теорию подобия можно рассматривать как учение об обобщенных безразмерных переменных, характеризующих данный процесс.