4.3 Случайные поля и пространственные фильтры

Для стационарной акустической волны, распространяющейся вдоль оси Z, может быть определена поперечная пространственная корреляционная функция

(4.8)

Здесь предполагается, что пространственный сигнал (поле) является однородным, т.е. х₂-х₁=ξ, y₂-y₁=μ, корреляционная функция зависит не от самих координат, а от их разностей.

Для однородных случайных полей поперечная корреляционная функция (ξ,μ) может быть связана с пространственной спектральной плотностью соотношением Хичина-Винера, т.е. двумерным преобразованием Фурье:

(4.9)

где имеет смысл распределения мощности поля по угловым координатам, определяемым k_x и k_y, в плоскости Z=const.

Соотношение (4.9) обратимо, т.е.:

(4.10)

Представления (4.9) и (4.10) могут быть использованы при анализе обработки стационарных акустических полей в “пространственных фильтрах”, роль которых могут выполнять как акустические антенны, так и участки среды, в которых распространяются сигналы.

Так например, связь между угловыми спектральными плотностями в сечениях Z=0 и Z по аналогии с преобразованием спектров электрических сигналов в линейных фильтрах может быть записана в виде:

(4.11)

где К( ) – комплексная пространственно-частотная характеристика пространства между сечениями Z=0 и Z.

Если для функций времени и частоты частотной характеристики во временной области сопоставления импульсная характеристика, то и для пространственных функций можно ввести пару преобразований Фурье:

(4.12)

Здесь H(x,y) называется импульсной пространственной характеристикой участка среды между сечениями Z=0 и Z, которая имеет смысл распределения поля в сечении Z при действии в точке с координатами x,y,0 точечного источника сигнала. Использование пространственной импульсной характеристики позволяет, например, определять корреляционную функцию в сечении Z по корреляционной функции в сечении Z=0.

(4.13)

Использование соотношений (4.9) - (4.13) позволяет рассматривать процесс обработки пространственно-временных акустических сигналов в рамках представлений корреляционного и спектрального анализа. Так, например, выходной сигнал линейного пространственного фильтра может быть определена как:

,

где G_вх – угловая спектральная плотность сигнала на входе фильтра; Р_вых – пространственное распределение мощности на выходе фильтра.

Распределение помехи на выходе фильтра при этом:

,

где G_{вх n} – угловая спектральная плотность помехи.

Аппарат исследования случайных пространственных функций может быть применен не только при исследовании акустических полей, но и при описании случайных граничных условий, что часто встречается на практике.

Попробуем определить комплексную пространственно - частотную характеристику для простейшего случая полу пространства с заданными свойствами. Если сравнить выражения для сигнала на выходе цепи с частотной характеристикой К.

с выражением (4.3)

то на основе пространственно-временных аналогий , комплексной частотной характеристике К(jω) можно поставить в соответствие выражение и записать, что для открытого полу пространства

K(k_x,k_y)= (4.14)

Отсюда можно определить модель комплексной пространственно-частотной характеристики.

Если , то и

Если , то , - мнимое число, и показатель экспоненты становится вещественным. Тогда . Первый случай соответствует однородным волнам, второй случай – неоднородным волнам. Неоднородная волна быстро убывает с расстоянием, поэтому можно утверждать:

G при

0, при

Таким образом, свободное пространство является фильтром низких пространственных частот, т.к. отфильтровывает высокие пространственные частоты, соответствующие неоднородным волнам.