4.4 Линейная фильтрация стационарных пространственно-временных сигналов

Если продолжить наши примеры, основанные на исследовании поведения акустической волны, то акустический тракт акустической информационной системы – излучатель, приемник и среду между ними – можно представить в виде схемы-аналога линейных фильтров. Анализировать такую схему можно на основе изученного нами аппарата оптимизации электрических линейных фильтров. По аналогии с классификацией, принятой в теории линейных электрических фильтров, рассмотрим два основных направления оптимизации пространственных фильтров:

- обнаружение сигнала при поступлении на вход аддитивной смеси сигнал/помеха;

- оптимальную фильтрацию сигнала из аддитивной смеси сигнал/помеха с минимальными возможными искажениями формы и спектра сигнала.

Задача отыскания оптимума системы обнаружения сигнала сводится к отысканию таких системных характеристик линейного фильтра, которые дают максимально возможное значение вероятности правильного обнаружения при заданной вероятности ложной тревоги. В теории оптимальных обнаружителей мы показали, что они базируются на оптимальных фильтрах, максимизирующих отношение сигнал/помеха. Рассматривая линейный пространственный фильтр с комплексной частотной характеристикой К(k_x,k_y), можно определить значение сигнала и среднеквадратичное значение помехи на выходе фильтра в виде:

,

где - пространственный спектр входного сигнала;

,

где - пространственная спектральная плотность помехи.

Критерием оптимальности обнаружения будет максимум в точке x₀,y₀

(4.14)

Применяя тот же подход, что и для частотного фильтра, получим:

(4.15)

Знак равенства, т.е. максимальное отношение сигнал/помеха, реализуется при:

(4.16)

Физический смысл формулы (4.16) очевиден: линейный фильтр максимально благоприятно относится к спектральным составляющим сигнала и подавляет сигнал помехи. Комплексная сопряженность пространственного спектра сигнала приводит к тому, что в фильтре происходит компенсация фазовых набегов отдельных спектральных составляющих сигнала, и все они суммируются в фазе, давая максимальное значение отклика фильтра. Так, например, если помеха изотропна, т.е. = const и x₀=y₀=0, то

,

и спектр выходного сигнала пропорционален спектральной плотности входного сигнала:

,

т.е. фазовая информация на выходе фильтра пропадает.

Если максимальный отклик фильтра в этом случае максимизируется в точке x=x₀, y=y₀ выходной плоскости, то его комплексная частотная характеристика для компенсации набегов должна иметь вид:

(4.17)

Соотношение (4.17) непосредственно вытекает из свойств преобразования Фурье функций при смещении аргументов.

Фильтр, определяемый характеристикой (4.17), называется согласованным, так как его характеристика согласована с сигналом. Это можно показать также, рассматривая импульсную характеристику двумерного пространственного фильтра, которая определяется преобразованием Фурье от комплексной частотной характеристики:

(4.18)

т.е. импульсная характеристика фильтра с точностью до полного множителя совпадает с зеркальным отображением функции сигнала относительно линий x₀/2, y₀/2.

Поскольку сигнал на выходе линейного фильтра является сверткой сигнала с импульсной характеристикой, то

(4.19)

т.е. равен максимальному значению функции корреляции сигнала.

Формула (4.19) показывает, что оптимальный обнаружитель может быть построен не только на основе согласованного фильтра, но и на принципе корреляционного приемника, в котором принятый сигнал сравнивается с опорным сигналом, являющимся копией ожидаемого сигнала.

Таким образом, обобщенные структурные схемы оптимальных обнаружителей могут быть выполнены либо по принципу согласованного фильтра, либо по принципу корреляционного приемника. Рассмотренные пространственные характеристики фильтров аналогичны соответствующим характеристикам временных фильтров и при выполнении условий представимости пространственно-временного сигнала в виде p(x,y,z,t)=p(x,y,z)f(t) могут использоваться независимо.