- •3. Статистические методы оценки параметров сигналов.
- •3.1 Понятие об оценке параметров принимаемых сигналов.
- •3.2 Качество оценок и критерии оптимальности измерения параметров.
- •3.3 Основные положения байесовской теории измерений
- •3.4 Максимально правдоподобная оценка
- •3.5 Потенциальная точность определения параметра
- •3.6 Потенциальная точность определения момента прихода сигнала
- •3.7 Потенциальная точность определения доплеровского сдвига частоты.
- •4. Пространственно временная обработка сигналов.
- •4.1 Пространственно-временной сигнал.
- •4.2 Случайные пространственно-временные сигнала
- •4.3 Случайные поля и пространственные фильтры
- •4.4 Линейная фильтрация стационарных пространственно-временных сигналов
- •5. Основы цифровой обработки сигналов.
- •5.1 Модели дискретных сигналов
- •5.2 Дискретизация периодических сигналов
- •5.3 Основы теории z-преобразования
- •5.4 Цифровые фильтры
- •5.5 Трансверсальные цифровые фильтры
- •5.6 Рекурсивные цифровые фильтры
- •5.7 Основы гомоморфной обработки сигналов
- •5.8 Гомоморфная обработка мультипликативного сигнала
- •5.9 Гомоморфная обработка свернутого сигнала
- •5.9 Кепстральный анализ сигналов
3.2 Качество оценок и критерии оптимальности измерения параметров.
Наличие помех приводит к отличию точечной оценки * от истинного значения параметра . При этом показателем качества является статистически усредненное значение ошибки измерения ε=*-. Если приняты меры по исключению грубых промахов и систематических ошибок, то ошибки измерения сводятся только к случайным.
Математическое ожидание ошибки =М[α*- α]позволяет определить наличие или отсутствие систематической ошибки. Если =0, т.е. , оценка называется несмещенной, что свидетельствует об отсутствии систематической ошибки. При , т.е. , оценка называется смещенной, что является результатом действия не устраненной систематической ошибки. Если при неограниченном числе измерений (n→∞) оценка α* стремится к α, то такая оценка называется состоятельной.
Показателями качества измерения являются:
Среднеквадратичная ошибка:
ε2скв= ,
где p(ε) – одномерная плотность распределения ε.
Вероятная (средняя) ошибка εвер, соответствующая такому значению ε= εвер, которое делит площадь под кривой p(ε) пополам,
p(ε)
P(│ε│≤ εвер)
P(│ε│≤ εвер)= P(│ε│≥ εвер)=0,5
Максимальная ошибка εмах – такая, вероятность превышения которой по модулю меньше 0,8%. Интервал 2εмах называется доверительным интервалом.
В случае центрированного гауссовского закона распределения случайных ошибок однозначно связаны соотношениями
εвер≈ εскв; εмах= εскв≈4εвер
1
0,992
0,67
εвер
ε
εскв
0,5
εмах
Дисперсия ошибки Dε=M[( )]= .
В случае несмещенной оценки и Dε= =ε2cкв. Желательно, чтобы дисперсия оценки была как можно меньше. Оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных оценок, называется эффективной.
По аналогии с теорией статистических решений в задачах обнаружения в качестве фундаментального критерия измерения может быть принят средний риск ошибки измерения:
(3.1)
где p(α, α*) – совместная плотность вероятности значения оценки α* и истинного значения α, т.е. p(α, α*)dαdα* - элемент вероятности произвольной ситуации соответствия α * и α; r(α, α*) – функция стоимости ошибки для ситуации (α, α*). Оптимизация выбора оценки α* сводится, как и в теории обнаружения, к минимизации среднего риска .
Минимизация связана с перебором большого числа ситуаций (α, α*). Чтобы уменьшить это число, сопоставление α и α* производят при одном из двух упрощающих предположений: измеряемая величина α считается не случайной; измеряемая величина α случайна, но известна плотность вероятностей ее значений p(α).
Первый подход соответствует классической теории оценивания, при которой не требуется знания функций распределения. Задача сводится к введению критерия несмещенности оценки , т.е. устраняется систематическая ошибка без оценки случайной или функциональной ошибки (метод наименьших квадратов).
В системах локации, в том числе в системах … неразрушающего контроля и медицинской диагностики, предпочтение отдается второму подходу - байесовской теории оценок, которая позволяет по доопытному – априорному распределению p(α) и выбранной функции стоимости ошибки r(α,α*) создать единообразную методику оптимизации оценок.