5.4 Цифровые фильтры

Рассмотрим простейший, наиболее изученный и внедренный класс систем дискретной обработки сигналов – линейные стационарные цифровые фильтры. При выполнении операции частотной фильтрации цифровые фильтры (ЦФ) обладают рядом преимуществ перед аналоговыми цепями: высокой стабильностью параметров, возможностью получения любой формы К(jω), простой реализации на ЭВМ.

Рассмотрим структурную схему цифровой обработки сигналов.

Непрерывный входной сигнал x(t) поступает в аналого-цифровой преобразователь (АЦП), управляемый синхронизирующими импульсами от генератора, задающего частоту дискретизации. В момент подачи синхронизирующего импульса на выходе АЦП возникает сигнал, отображающий результат измерения мгновенного значения входного колебания в виде двоичного числа с фиксированным количеством разрядов. В зависимости от особенности построения устройства этому числу соответствует либо последовательность коротких импульсов (передача в последовательном коде), либо совокупность уровней напряжений на сигнальных шинах отдельных разрядов (передача в параллельном коде). Этот преобразованный сигнал поступает в цифровой процессор, состоящий из арифметического устройства и устройства памяти. Арифметическое устройство выполняет ряд операций над числами (умножение, сложение, сдвиг во времени на заданное число интервалов дискретизации). В устройстве памяти может храниться некоторое число предшествующих отсчетов входных и выходных сигналов, которые необходимы для выполнения операций обработки.

Цифровой процессор преобразует поступающие в него числа в соответствии с заданным алгоритмом фильтрации и создает на выходе последовательность двоичных чисел, представляющих выходной сигнал. Если в дальнейшем необходимо иметь информацию в аналоговой форме, то используется цифроаналоговый преобразователь (ЦАП). Однако ЦАП может и отсутствовать, если сигналы подвергаются только цифровым преобразованиям.

Специфика любого цифрового устройства – преобразование сигналов в виде последовательности чисел с ограниченной разрядностью. Обычно используется представление в виде с фиксированной запятой, причем │А│<1. Поэтому мгновенное значение сигнала дискретизируют по уровню таким образом, что интервалом дискретизации служит единица младшего двоичного разряда.

Точное значение отсчета сигнала в двоичной форме имеет вид:

,

где =0 или 1. при ограничении длины числа х некоторым количеством разрядов N вместо точного значения получается его округленное (машинное) представление:

(5.23)

где равен либо , либо +1 в зависимости от того, нуль или единица содержится в (N+1) разряде.

Как известно, линейная стационарная система преобразует непрерывный входной сигнал x(t) и импульсной характеристики h(t):

.

Линейный цифровой фильтр, по определению, есть дискретная система (физическое устройство или программа для ЭВМ), которая преобразует последовательность {х_k} числовых отсчетов входного сигнала в последовательность {y_k} отсчетов выходного сигнала:

,

или сокращено {х_k}{y_k}.

Линейный цифровой фильтр обладает тем свойством, что сумма любого числа входных сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, преобразуется в сумму его откликов на отдельные слагаемые, т.е. из соответствий , следует, что

. (5.24)

при любых коэффициентах .

Для того, чтобы обобщить формулу свертки на случай дискретных сигналов, вводят понятие импульсной характеристики ЦФ. По определению она представляет собой дискретный сигнал {h_k}, который является реакцией ЦФ на “единичный импульс” (1,0,0,0,…):

(1,0,0,0,…) . (5.25а)

Линейный ЦФ стационарен, если при смещении входного единичного импульса на любое число интервалов дискретизации импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме. Например:

(5.25б)

Рассмотрим, таким образом из свойств линейности и стационарности вытекает наиболее общий алгоритм линейной цифровой фильтрации. Пусть {х_k}= (х₀,х₁,х₂…) – некоторый сигнал на входе ЦФ с известной импульсной характеристикой. Используя соотношения (5.24) и (5.25), можно записать m-й отсчет выходного сигнала {y_k}:

(5.26)

Здесь h₀,…h_m – отсчеты (последовательные значения) импульсной характеристики.

Выражение (5.26), играющее ведущую роль в теории линейной цифровой фильтрации, показывает, что выходная последовательность есть дискретная свертка входного сигнала импульсной характеристики фильтра. Смысл его прост и нагляден: в момент каждого отсчета цифровой фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности играют отсчеты импульсной характеристики. Иначе говоря, ЦФ обладает некоторой памятью по отношению к прошлым входным воздействиям.

Практический интерес представляют лишь физически реализуемые ЦФ, импульсная характеристика которых не может быть отличной от нуля в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного импульса. Поэтому для физически реализуемы фильтров коэффициенты h _-1 h _-2… обращаются в нуль и суммирование в (5.26) можно распространить на все положительные значения индекса k:

m=(0,1,2,…). (5.27)

Как известно в теории линейных систем особую роль играют комплексные сигналы вида x(t)=Aexp[j(ωt+)], отображающие гармонические колебания. При дискретизации такого сигнала по времени получается так называемая гармоническая последовательность:

{х_k}={Aexp[j(ωk∆+)]}, (5.28)

такая, что

Re{х_k}={Acos(ωk∆+)}. (5.29)

Эти последовательности представляют дискретизированные импульсные сигналы неоднозначно. Действительно, эти последовательности не изменятся при замене частоты ω на ω+2πn/∆=ω+nω_д, где n – любое целое число, ω_д - круговая частота дискретизации.

Пусть на вход линейного стационарного цифрового фильтра подана гармоническая последовательность {х_k} вида (5.28), неограниченная во времени, т.е. при k=0,±1,±2… Для того, чтобы вычислить выходной сигнал {y_k}, воспользуемся выражением (5.26) и найдем m-й отсчет на выходе:

.

Введем новый индекс суммирования n=m-k.Тогда:

(5.30)

В соответствии с (6.30) выходной сигнал имеет структуру дискретной гармонической последовательности с той же частотой, что и выходной сигнал. Выходные отсчеты получаются из входных умножением на комплексную величину:

(5.31)

называемую частным коэффициентом передачи ЦФ. Коэффициент передачи ЦФ зависит от частоты ω, а также от шага дискретизации ∆ и от совокупности коэффициентов {h_n} импульсной характеристики ЦФ. Выражение (5.31) позволяет сделать выводы:

1. Частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации ω_д=2π/∆.

2. Функция K(jω) есть преобразование Фурье импульсной характеристики ЦФ, представленной в виде последовательности дельта-импульсов:

Расчет частного коэффициента передачи ЦФ удобно производить, используя методы Z-преобразований. Сопоставим дискретным сигналам {х_k}, {y_k}, {h_k} их Z-преобразования X(z), Y(z), H(z) соответственно. Выходной сигнал фильтра {y_k} есть свертка выходного сигнала и импульсной характеристики, поэтому выходному сигналу отвечает функция (на основании 5.22):

Y(z)=H(z)X(z) (5.32)

Системной функцией стационарного линейного ЦФ называют отношение Z-преобразования выходного сигнала к Z-преобразованию сигнала на входе. Соотношение (5.32) устанавливает, что системная функция фильтра

(5.33)

((5.33) из определения Z-преобразования)

есть Z-преобразование импульсной характеристики. Сравнивая выражения (5.31) и (5.33), приходим к следующему выводу: чтобы получить частотный коэффициент передачи ЦФ из его системной функции, в последней надо сделать подстановку z=exp(jω∆): физически осуществимые ЦФ, которые работают в реальном масштабе времени, для формирования выходного сигнала в i-й дискретный момент времени могут использовать следующие данные:

а) значение входного сигнала в момент i-го отсчета, а также некоторое число “прошлых” входных отсчетов х_i-1, x_i-2, …x_i-m;

б) некоторое число предшествующих отсчетов выходного сигнала y_i-1, y_i-2, …y_i-n.

Целые числа m и n определяют порядок ЦФ. Классификация ЦФ проводится по разному в зависимости от того, как используется информация о прошлых состояниях системы.