5.9 Кепстральный анализ сигналов

Исторически понятие “кепстр” было определено временем:

(5.53)

где Φ_s(jω) – амплитудный спектр непрерывного сигнала.

Поскольку │Φ_s(jω)│² имеет смысл спектральной плотности энергии сигнала s(t), то С_s(q) истолковывается как энергетический спектр функции ln│Φ_s(jω)│².

Но из (5.53) очевидно, что аргумент q этого “спектра” [в кавычках] имеет размерность времени, а не частоты. Этим и объясняется распространение термина “кепстр”, который образован перестановкой букв в термине “спектр”. (В зарубежной литературе аргумент называется “quefrecy”, сто по-русски выглядит как “сачтота”).

Хотя q имеет размерность времени, это особое, кепстральное время, поскольку С_s(q) в любой момент q зависит от функции s(t), заданной при -∞<t<∞.

Определяемый выражением (5.53) кепстр принято называть кепстром мощности. Фазо-частотная характеристика спектра сигнала Φ_s(jω) в кепстре мощности не учитывается.

Кепстры мощности получили распространение при анализе сигналов, представляющих собой свертку двух функций времени, таких, что после преобразования s(t) по алгоритму (5.53) образуются непрерывающиеся на оси q импульсы.

Следует отметить, что выражение (5.53) имеет смысл не для любого сигнала – s(t). Действительно, для сигнала с конечной энергией выполняется , из которого следует, что при │ω│→∞ │Φ(jω)│²→0. Но тогда при │ω│→∞ обращается в бесконечность │ln│Φ(jω)││ и интеграл расходится. Это противоречие устраняется, если спектр сигнала ограничен верхней частотой ±ω_в, и тогда значение функции ограничено.

Рассмотрим пример применения кепстра мощности. Пусть задан сигнал s(t) на выходе линейного тракта и требуется получить информацию об исходном сигнале s₁(t), действующем на его входе, а также об импульсной характеристике g(t) самого тракта. Связь между тремя перечисленными функциями времени определяется сверткой:

s(t)=s₁(t)*g(t)

Подобная задача возникает при анализе сейсмических процессов, при использовании локационных методов определения характеристик среды распространения при анализе сигналов речи и т.д.

В частности, при разработке электронных синтезаторов речи под s₁(t) подразумевается сигнал, о котором известно только, сто его спектральная плотность S₁(ω) заключается в некоторой полосе │ω│≤ω_мах, а форма спектра характеризуется периодической изрезанностью, однако период пульсации 1/Т (по оси частот), а также амплитуда пульсации подлежат определению. Об импульсной характеристике речевого тракта g(t) только известно, что ее продолжительность мала по сравнению с Т, так что передаточная функция тракта K(jω) изменяется плавно по сравнению с пульсацией Φ₁(jω).

Результаты обработки сигнала s(t)=s₁(t)*g(t) в схеме:

После Фурье-преобразования, определения квадрата модуля спектра, а также логарифмирования получается функция:

log│Φ(jω)│²= log│Φ₁(jω)│²+ log│К(jω)│².

Эта функция подвергается обратному преобразованию Фурье (5.53), в результате которого получается 2 слагаемых кепстра мощности:

Вид соответствующих функций показан на рисунке:

Функции log│Φ₁(jω)│², изменяющейся с периодом 1/Т, соответствует кепстр С_s1(q) в виде пика при q=T, медленному же изменению функции log│К(jω)│² соответствует кепстр С_g(q), расположенный вблизи q=0 (область малого кепстрального времени).

Таким образом можно выявить основную частоту 1/Т, а также получить некоторую информацию о форме АЧХ тракта.

В отличие от рассмотренной упрощенной модели со строго периодической пульсацией спектра Φ₁(jω) и с постоянной во времени передаточной функцией К(jω) при обработке реальных речевых сигналов приходиться иметь дело с “квазипериодическим” процессом, частота которого меняется во времени. То же относится к функции К(jω). Путем усреднения по большому числу отрезков реализаций, в пределах которых функции Φ₁(jω) и К(jω) практически неизменны, удается выявить средние частоты и параметры тракта, необходимые для синтезов звука речи.

На практике Кепстральный анализ, как правило, проводится в цифровой форме. Его применяют, в частности, для определения времени задержки сигнала при эхолокации, выявления формы приходящих сигналов.