4.2 Случайные пространственно-временные сигнала

Система пространственно-временных аналогий распространяется и на случай случайных сигналов. Детерминированный пространственно-временной сигнал мы описывали распределением амплитуды (например, амплитуды звукового давления) на заданной поверхности p(x,y,z) либо угловым спектром g(k_x,k_y), которые связывались двумерным преобразованием Фурье. Однако для описания случайных пространственно-временных сигналов такой подход мало продуктивен. Так же, как и для временных сигналов, здесь целесообразно вводить представления корреляционного и спектрального анализа случайных пространственно-временных функций p( ,t).

Случайные пространственно-временные сигналы часто называются случайными полями. Такие поля могут зависеть либо от координат и времени, либо только от координат. Пусть имеется ансамбль реализаций случайного поля высот неровностей поверхности h_k(x,y), где h – высота неровностей в точке с координатами [x,y]. Здесь ансамбль реализаций – множество одинаковых участков неровной поверхности. Так как в фиксированной точке пространства с координатами x₁,y₁ (отсчитываемыми, например, от определенного угла) значение высоты h для разных реализаций есть случайная величина, то можно ввести одномерную функцию распределения случайного поля:

, где p(h) – пространственная плотность распределения вероятностей высоты h.

Если необходимо знать поведение или взаимосвязь поля в двух точках пространства x₁,y₁ и x₂,y₂, то вводится двухмерная функция распределения:

Аналогично можно ввести функции и плотности распределения более высоких порядков. Если случайное поле зависит от времени, то соответствующее обозначение включается в аргумент: p(h; x₁,y₁;t₁).

Для сокращения записи координаты точки часто задаются радиус-вектором , проведенным из начала координат: и .

Для случайных полей, как и для случайных процессов, вводятся моментные функции. Математическое ожидание случайного поля:

Применительно к двумерному полю h(x,y) это выражение примет вид:

Аналогично вводится дисперсия

Ковариационная

и корреляционная функции:

Интегрирование в этих выражениях ведется по значениям поля. Видно, что математическое ожидание и корреляционная и ковариационная функции зависят в общем случае от координат точки пространства. Однако существует обширный класс полей, для которых моментные функции не зависят от пространственных координат. Такие поля называются однородными. Однородность поля является аналогом стационарности случайных процессов. Фактически, однородность поля указывает, что в любой точке пространства поле ведет себя “в среднем” одинаково. Если это не выполняется, то поле является неоднородным.

В общем случае поле определяется как функция координат пространства и времени h=h( ,t). Если учитывать временную зависимость, то к полю применимо понятие стационарности, относящееся к случайным процессам.

Случайные поля называются однородными в широком смысле, если его математическое ожидание не зависит от координат в пространстве, а пространственная корреляционная (ковариационная) функция является функцией только разности аргументов:

Стационарность случайного поля в широком смысле определяется так же, как для случайных процессов. Может быть также введено понятие однородности в узком смысле – по анализу зависимости n-мерных плотностей распределения от сдвига всех аргументов на одно и то же значение .

Для случайных однородных полей вводят также понятие изотропности. Однородное поле называется изотропным, если ковариационная (корреляционная) функция зависит только от расстояния и не зависит от направления:

В противном случае поле называется анизотропным.