В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

характеру індуктивного зв’язку користуються умовними позначеннями: одноіменні полюси (початки або кінці) котушок позначають крапкамиабозірочками.

Якщо струми в котушках спрямовані однаково стосовно одноіменних затискачів, то вони увімкнені узгоджено. У цьому разі власне і взаємне потокозчеплення кожної котушки додають. Наприклад, для двох індуктивно зв’язаних котушок

зчеплення взаємоіндукції другої котушки, зумовлене струмом i1

першої котушки.

Якщо струми котушок спрямовані по-різному стосовно одноіменних затискачів, то вони увімкнені зустрічно, і тоді їх потокозчеплення визначають за формулами

Зауважимо, що індуктивно зв’язаними можуть бути не тільки дві, але й декілька котушок. Відповідно потокозчеплення взаємоіндукції котушки складатиметься з кількох складових, знаки яких необхідно брати залежно від їх увімкнення в електричне коло: узгоджене чи зустрічне. Для цього на схемі повинні бути позначені їходноіменнізатискачіта додатнінапрямкиструмів.

Відношення потокозчеплення ψ12 взаємоіндукції першої котушки до струму i2 другої котушки називається взаємною

Взаємна індуктивність M у лінійних електричних колах не залежить від напрямків та значень струмів, а визначається тільки конструкціями котушок та їхній взаємним розташуванням. Для

81

оцінювання ступеня магнітного зв’язку між котушками застосовують поняттякоефіцієнта зв’язку, який визначається заформулою

k = M . L1L2

Цей коефіцієнт може приймати значення від k = 0 , у разі перпендикулярного розміщення осей котушок, до k = 1,0 – у разі співосного розміщення, коли потік однієї котушки повністю зчеплюється з потоком іншої та навпаки.

Поділу потокозчеплення котушки на потокозчеплення самоіндукції і взаємоіндукції відповідає поділ ЕРС, яка наводиться в ній, на ЕРС само- і взаємоіндукції. Зокрема, у разі двох індуктивно зв’язаних котушок у першій з них наводиться ЕРС

лексним опором взаємоіндукції.

Взаємоіндуктивні зв’язки можуть існувати не тільки між елементами одного кола, але й між електрично не зв’язаними індуктивними елементами.

82

Для прикладу, запишемо рівняння Кірхгофа для простого електричного кола із взаємоіндуктивними зв’язками, наведеного на рис. 3.23, в якому котушки індуктивності увімкнені зустрічно.

M

Рис. 3.23

За другим законом Кірхгофа

u = uR1 + uL1 + uR2 + uL2 ,

де напруги на окремих елементах визначають за формулами

У комплексній формі

U = I (R1 + R2 ) + j (ω L1 − ω M ) I + j (ω L2 − ω M ) I = = I (R1 + R2 ) + j (X L1 + X L2 − 2XM ) .

Типовим прикладом електричного кола із взаємоіндуктивними зв’язками є трансформатор, електрична схема якого наведена на рис. 3.24. Як відомо, обмотки трансформатора мають взаємоідуктивний зв’язок за рахунок єдиного магнітного потоку, який є спільним для обох обмоток. Крім того, витки кожної обмотки охоплюються потоками розсіювання.

Рис. 3.24

83

Рівняння, складені за другим законом Кірхгофа для первинної і вторинної обмоток трансформатора, мають вигляд

де знак “+” перед M відповідає зображеному на рис. 3.24 узгодженому вмиканню первинної і вторинної обмоток.

Розрахунок електричних кіл із взаємоіндуктивними зв’язками можна здійснювати на основі законів Кірхгофа або за методом контурних струмів. Метод вузлових напруг потребує попередньої еквівалентної заміни індуктивних зв’язків або спеціального підходу.

Основні положення. Явище взаємоіндукції існує, якщо витки однієї котушки пронизуються магнітними потоком, зумовленим струмом іншої котушки.

Якщо котушки мають взаємоіндуктивний зв’язок, то в кожній з них наводиться, крім ЕРС самоіндукції, ЕРС взаємної індукції, яка може за напрямком збігатися з ЕРС самоіндукції або бути протилежною до неї.

Складаючи рівняння за другим законом Кірхгофа або за методом контурних струмів у колах із взаємоіндуктивними зв’язками, необхідно враховувати ЕРС взаємоіндукції.

Взаємоіндуктивні зв’язки можуть бути як в електрично зв’язанихколах, таків таких, щонемаютьелектричногозв’язку.

3.10. Приклади розв’язування задач

uL , uC , активну P , реактивну Q та повну S потужності, побудувати векторну діаграму та часові залежності напруги й струму на вході схеми, якщо R = 10 Ом; X L = 10 Ом; XC = 20 Ом.

84

Рис. 3.25

Розв’язання. Струм у колі визначаємо за відомим значенням напруги на резисторі. Миттєве значення струму має вигляд

i = Im sin (ωt +ψ i ) .

Оскільки струм та напруга на резисторі збігаються за фазою (ϕ = ψ u −ψ i = 0), то ψ i = 0 . Амплітуда струму

Отже, i = 14,1sinωt А.

Реактивний опір X = X L − XC = −10 Ом.

Комплекснийопір кола Z = R + jX = 10 − j10 = 14,1e− j45 Ом. Комплекс прикладеної напруги

U = Z I = 14,1e− j45 10 = 141e− j45 В.

Миттєве значення прикладеної напруги u = 141 2 sin (ωt − 45 )В.

Активна, реактивна та повна потужності

P = UI cosϕ = 141 10cos 45 = 996 Вт; Q = UI sinϕ = 141 10sin(−45 ) = −996 вар;

S = UI = 141 10 = 1410 В A

Напруга на індуктивній котушці

Векторна діаграма напруг наведена на рис. 3.26, а, а часові діаграми вхідної напруги та струму – на рис. 3.26, б.

Векторна діаграма побудована на рис. 3.28.

Приклад 3.3. Для електричного кола, схема якого наведена на рис. 3.29, а, визначити миттєві значення струмів у вітках, напругу на паралельній ділянці кола, активну P , реактивну Q і

Розв’язання. Визначаємо комплексні опори віток

Обчисливши комплексні опори віток, можна скласти комплексну заступну схему у вигляді, зображеному на рис. 3.29, б. Зауважимо, що струми у вітках можуть бути знайдені будь-яким з розглянутих у розділі 2 методом. Застосуємо метод еквівалентних перетворень. Для цього обчислимо еквівалентний комплексний опір паралельних віток.

Визначимо еквівалентний вхідний комплексний опір усього

кола

Комплексна потужність

Приклад 3.4. Визначити значення ємності C , за якого в колі (рис. 3.30) виникає резонанс напруг, та струми під час резонансу у всіх вітках, якщо діюче значення напруги U = 30 В,

Рис. 3.30

Розв’язання. Запишемо вираз для еквівалентного вхідного

опору

Резонанс напруг настає, якщо реактивна складова вхідного опору Zвх кола дорівнює нулю. Отже, умова резонансу

Струми визначимо для XC = 1 Ом.

Приклад 3.5. Котушка індуктивності, яка має параметри

R = 0,4 Ом, L = 40 10−3 Гн, і конденсатор ємністю С = 100 мкФ з’єднані послідовно. Визначити резонансну частоту ωрез та добротність контуру, а також споживану потужність в режимі резонансу за діючого значення прикладеної напруги U = 10 В.

Розв’язання. Резонансна частота визначається за формулою

Добротність контуру

R

Струм у контурі в режимі резонансу

I = U = 10 = 25 A .

R0,4

90