В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

практично для всіх функцій, які трапляються в різних галузях техніки, зокрема й в електротехніці. Зображення для найуживаніших функцій наведені в табл. 7.1.

231

Розглянемо формули для обчислення зображень похідних і інтегралів від оригіналів. Згідно з (7.56) зображення похідної обчислюємо за формулою

Використовуючи формулу (7.60), обчислюємо операторне зображення напруги на індуктивному елементі

а враховуючи, що

uc = 1 t idt + uc (0), C 0

зображення напруги на конденсаторі має вигляд

де uc (0) – значення напруги на конденсаторі при t = 0.

Величину Li(0) називають внутрішньою ЕРС, яка зумов-

лена запасом енергії в магнітному полі котушки індуктивності внаслідок протікання в ній струму i(0) безпосередньо перед комутацією. Аналогічно uc (0)/ p – це внутрішня ЕРС, яка зумовлена запасом енергії в електричному полі конденсатора внаслідок наявності напруги uc (0) наньому, безпосередньо передкомутацією.

232

Основні положення. Застосування операторного методу дає змогу замінити систему інтегро-диференціальних рівнянь стосовно оригіналів (функцій часу), системою алгебричних рівнянь стосовно їх зображень, тобто здійснити алгебризацію вихідної системи рівнянь.

У разі застосування операторного методу операція диференціювання замінюється множенням на оператор p, а операція інтегрування – діленням, внаслідок чого замість вихідних інтегро-диференціальних рівнянь стосовно часових функцій розглядаються алгебричні рівняння стосовно їх зображень.

7.7.3. Операторні заступні схеми. Застосування оператор-

ного методу розрахунку перехідних процесів потребує складання операторної заступної схеми. Під час її складання всі величини замінюються їх операторними зображеннями (наприклад, i(t) на I(p), u(t) на U(p), e(t) на E(p) і т.д.). Крім того, індуктивні елементи замінюються відповідно до (7.61) послідовними схемами, які складаються з операторного опору pL і джерела ЕРС зі значенням L i (0) (рис. 7.16, а), а ємнісні елементи – послідов-

ними схемами, які складаються з операторного опору 1/ ( pC ) і джерела ЕРС величиною uC (0) / p (рис. 7.16, б). Причому додатний напрямок джерела ЕРС, увімкненого послідовно до котушки індуктивності, збігається з напрямом струму iL (t ), а джерела ЕРС, увімкненого послідовно до ємнісного елемента, – зустрічно до струму iC (t ) .

Операторне рівняння схеми рис. 7.16, а має вигляд

значення напруги.

233

Для прикладу на рис. 7.17 наведено схему електричного кола та його операторну заступну схему.

7.7.4. Закони Ома та Кірхгофа в операторній формі. Під час складання рівнянь за законами Ома та Кірхгофа необхідно дотримуватись усіх правил, які були сформульовані вище для дійсних функцій часу. Наприклад, для вітки, яка складається з послідовно з’єднаних резистора, котушки індуктивності та конденсатора, можна записати

u = Ri + L di + 1 idt , dt C

тому згідно з (7.61), (7.62) в операторній формі одержимо

234

називається операторним опором двополюсника, де R, pL, 1/(pC) – операторні опори резистора, котушки та конденсатора відповідно.

Як видно з (7.64), операторний опір вітки можна одержати з комплексного опору формальною заміною jω на p.

Операторні зображення струму I(p) і напруги U(p) узагальненої вітки, до якої входить резистор (параметр – R), котушка

яке є законом Ома в операторній формі.

Якщо початкові умови нульові, то рівняння (7.65) набуває вигляду

Рівняння (7.65) залишається справедливим, якщо процес у колі до комутації не був усталеним. У цьому разі числові значення uc (0) і iL (0) необхідно брати такими, які вони мають у

момент комутації.

Перший закон Кірхгофа в операторній формі записується у вигляді рівняння

k

235

Другий закон Кірхгофа в операторній формі має вигляд

де Uk ( p) – визначається згідно з (7.63).

У разі ненульових початкових умов рівняння другого закону Кірхгофа (7.67б) набуває вигляду

льові початкові умови. Їх можна розглядати як додаткові джерела енергії (так звані внутрішні ЕРС), які вводяться до віток з індуктивними елементами, напрямок яких збігається з напрямком струму, та до віток з ємнісними елементами, напрямок яких протилежний до напрямку струму. Зважаючи на це, для визначення струмів можна використовувати метод накладання і розраховувати процес у колі спочатку за нульових початкових умов, а потім знайти струми та напруги, зумовлені дією додаткових ЕРС, які визначаються початковими умовами, ірезультатидодати.

Оскільки для операторних заступних схем справедливі закони Кірхгофа, то для розрахунків зображень можна використовувати всі методи, які застосовуються до розрахунку лінійних електричних кіл постійного струму.

Основні положення. Застосування перетворення Лапласа дає змогу перейти від операцій над реальними функціями часу до операцій над зображеннями.

В операторному методі розрахунок операторних зображень струмів можна визначити будь-яким із методів розрахунку лінійних електричних кіл з використанням операторної заступної схеми, в якій реальні джерела електричної енергії та опори пасивних елементів подані відповідними операторними зображеннями. До операторної заступної схеми входять увімкнені послідовно до реактивних елементів, так звані, внутрішні джерела енергії, які дають змогу врахувати початкові умови.

236

7.7.5. Перехід від зображень до оригіналу. Теорема розкладу. Після знаходження операторних зображень струмів та напруг, необхідно здійснити перехід до реальних функцій часу. На практиці найчастіше операторні зображення визначаються у вигляді раціонального дробу

де F1 ( p), F2 ( p) – поліноми оператора p степеня відповідно m

та n. Для знаходження оригіналів таких зображень користуються теоремою розкладу, суть якої полягає в такому.

Вважатимемо, що степінь m полінома F1 ( p) чисельника менша від степеня n полінома F2 ( p) знаменника, тобто m < n.

Тоді за умови, що рівняння F2 ( p) = 0 не має кратних коренів, а

також спільних коренів з рівнянням F1 ( p) = 0 , дріб (7.69) можна розкласти на прості дроби за формулою

Якщо рівняння F2 ( p) = 0 має один корінь, що дорівнює нулю, то його можна записати у вигляді добутку

F2 ( p) = pF3 ( p) .

237

У цьому разі оригінал знаходять за формулою

Якщо рівняння F2 ( p) = 0 має n різних коренів, причому

корінь p1 має кратність m1, корінь p2 має кратність m2 і т.д., то оригінал визначають за формулою

(кратність mk = 1) є частковим випадком теореми розкладу для випадку кратних коренів, якщо прийняти 0! = 1.

Якщо серед коренів рівняння F2 ( p) = 0 є комплексно

спряжені корені pk і pk* , то в рівняннях (7.72а), (7.72б) достатньо визначити доданок для одного з цих коренів, наприклад pk, а для спряженого кореня pk* взяти спряжене значення цього доданка. Сума, яка відповідає цим двом доданкам, дорівнює подвоєному значенню дійсної частини, знайденої для одного з коренів.

Основні положення. Застосування перетворення Лапласа дає змогу алгебризувати систему диференціальних рівнянь, які описують перехідний процес, у результаті чого задача зводиться до знаходження операторних зображень струмів, напруг тощо, які можна визначити одним із методів розрахунку усталених режимів лінійних електричних кіл: законів Кірхгофа, контурних струмів, вузлових напруг.

Зворотний перехід від операторних зображень до функцій дійсної змінної (оригіналів) здійснюється на підставі теореми розкладу або за допомогою спеціальних таблиць.

238

7.8. Приклади ров’язування задач

операторним методом

Приклад 7.6. Для порівняння розв’яжемо операторним методом задачу прикладу 7.3.

Розв’язання. Операторна заступна схема електричного кола для післякомутаційного режиму зображена на рис. 7.18.

E

P

Рис. 7.18

Незалежні початкові умови

Систему рівнянь складемо за методом контурних струмів

Ik1 ( p)(R3 + pL) − Ik 2 ( p) pL = E + Li3 (0); p

− Ik1 ( p) pL + Ik 2 ( p)(R2 + pL) = − Li3 (0).

Розв’язавши її стосовно струму Ik 2 ( p) , після підстановки числових значень одержимо

p2 = −5 , то згідно з теоремою розкладу

239

=15 + 1,5(−5) + 15 e−5t = 3 − 1,5e−5t A. 5 2(−5) + 5

Відповідь: i2 (t) = ik 2 (t) = 3 − 1,5−5t A .

Приклад 7.7. Визначити перехідний струм і1 в зображеному на рис. 7.19 колі за дії постійної ЕРС, якщо Е = 10 В,

R1 = R2 = 10 Ом; С = 10–3 Ф.

Рис. 7.19

Розв’язання. Незалежні початкові умови иС (0) = 0. Операторна заступна схема

240