В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

Переходимо до оригіналу струму і1(t) за допомогою формули розкладу. Рівняння F1 ( p) = p (0,1p + 20) = 0 має два корені:

Часова залежність струму і1 в перехідному процесі наведена на рис. 7.21.

7.9. Перехідні процеси під час вмикання кола на напругу довільної форми

7.9.1.Вступні зауваження. Класичний та операторний методи використовують для розрахунку перехідних процесів у колах постійного або синусоїдного струму. Проте цим не вичерпується група задач з розрахунку перехідних процесів. Зокрема, нерідко виникає потреба проаналізувати процеси, які відбуваються під час вмикання електричного кола на неперервно змінну напругу довільної форми, наприклад, у разі джерел енергії трикутної, прямокутної, лінійно наростаючої чи спадаючої форми. У разі лінійного електричного кола перехідний процес у ньому можна розрахувати на основі методу накладання із застосуванням інтегралу Дюамеля. Суть методу полягає в тому, що визначають перехідну провідність кола, яка числово дорівнює струмові в колі за дії напруги в один вольт, а потім визначають перехідний струм уколі, зумовлений дією довільноїнапруги u = u(t) , за однієюз відомихформул.

7.9.2.Перехідні функції. Припустимо, що двополюсник, операторна провідність якого Y(p), вмикають на постійну напругу

241

U0 . Операторне зображення струму I(p) на вході визначають за

де величину g(t), яка є функцією часу, називають перехідною провідністю. Її вимірюють у сіменсах (См), тобто як звичайну провідність.

Як видно з (7.74), перехідна провідність числово дорівнює струмові i(t) на вході двополюсника під час вмикання його на постійну напругу U0 = 1 B , тобто

Звідси випливає спосіб визначення перехідної провідності. Для цього необхідно знайти класичним або операторним методом вираз для струму у вітці у разі вмикання її на постійну напругу в один вольт. Наприклад, перехідну провідність схеми рис. 7.2 визначають за формулою

Аналогічно можна знайти перехідну функцію напруги у разі живлення кола від джерела струму величиною один ампер. Така перехідна величина називається перехідним опором r(t) і вимірюється в омах. Загальна назва перехідних величин (провідності чи опору) – перехіднафункціяh(t). Перехідні функції є функціямичасу і не залежать від величини та форми кривих прикладених напруг чи струму, а визначаються параметрами елементів схеми електричного кола. Оскільки значення перехідної функції h(t) залежить від часу,

то її називають (часовою перехідною характеристикою). Її можна визначитияккласичним, такіоператорнимметодом.

7.9.3. Інтеграл Дюамеля. Нехай до джерела неперервно змінної напруги u(t) (рис. 7.22, а) вмикають пасивний лінійний двополюсник з довільною внутрішньою схемою. Необхідно знайти струм і(t) на вході двополюсника.

242

Неперервно змінну напругу u(t) замінимо ступінчастою функцією з елементарними стрибками напруги u (рис. 7.22, б). Тоді зміну напруги можна подати як вмикання при t = 0 постійної напруги величиною u(0), а потім елементарних постійних напруг величиною u з часовим інтервалом Δτ. Ці елементарні напруги можуть мати знак плюс чи мінус залежно від того зростаючий чи спадаючий характер має крива напруги.

Складова струму в момент часу t від постійної напруги u(0) дорівнює u(0)·g(t). Складова струму в момент часу t від елементарного стрибка напруги u, який відбувається в момент часу τ дорівнює u g(t– τ). Це пояснюється тим, що елементарний стрибок напруги u починає діяти на час τ пізніше розмикання рубильника на вході, тобто проміжок часу між моментом τ початку дії цього стрибка і моментом часу t дорівнює (t – τ).

Елементарний стрибок напруги u можна подати у вигляді

u≈ Δτ tgα = Δτ u′(τ ),

авідповіднуйомускладовуструмувизначитиза формулою

u g (t − τ ) = u′ (τ )Δτ g (t − τ ) .

Елементарні стрибки напруги вмикають в інтервалі часу від нуля до t, де t – час, для якого визначається струм. Тому, додаючи складові струму, зумовлені всіма стрибками, і переходячи до

243

границі при Δτ → 0 , а також, врахувавши складову струму від початкового стрибка напруги u(0), одержуємо формулу

яку називають першою формою інтегралу Дюамеля. Зауважимо, що літерою τ позначено змінну інтегрування, а літерою t – поточне значеннячасу, дляякогопотрібно знайти перехідний струм.

Аналогічно можна знайти будь-яку перехідну електричну величину y(t) як реакцію кола на збурення x(τ ) . Отже, в загаль-

ному вигляді формулу (7.77а) можна записати так

Ту чи іншу форму вибирають залежно від того, наскільки простим буде підінтегральний вираз.

Насамкінець, зауважимо, що формули інтегралу Дюамеля використовують лише у разі нульових початкових умов. За необхідності дослідження перехідного процесу в активному електричному колі з ненульовими початковими умовами застосовують принципнакладання ізведення задачідонульових початкових умов.

Розрахунок перехідного процесу з використанням інтегралу Дюамеля виконують у такій послідовності:

а) використовуючи класичний або операторний методи розрахунку перехідних процесів, визначити перехідну провід-

244

ність g(t) як реакцію кола на одиничну напругу u(t) = 1,0 В та

замінити в одержаному виразі аргумент t на (t-τ);

б) на кожній ділянці неперервної зміни функції вхідної напруги u(τ ) апроксимувати її аналітичним виразом та продиференціювати одержані вирази по часу;

в) для кожного інтервалу часу неперервної зміни вхідної напруги записати вирази для струму у вигляді інтегралу Дюамеля, поданого однією з формул (7.77) з урахуванням

г) одержаний вираз для струму інтегрують по τ і знаходять остаточні вирази для струму в перехідному процесі за дії прикладеної неперервно змінної напруги як функції часу t.

Основні положення. Реакція пасивного лінійного електричного кола на вмикання джерела напруги величиною один вольт або струмувеличиноюодинамперназиваєтьсяперехідноюфункцією.

Перехідну провідність можна визначити шляхом розрахунку перехідного процесу в колі при дії одиничної напруги класичним або операторнимметодом. Перехіднийопірвизначають аналогічно.

Перехідний процес у лінійному електричному колі, який зумовлений дією неперервно змінної напруги довільної форми, можна визначити за допомогою формул накладання, які називають формулами інтеграла Дюамеля. Для цього необхідно спочатку визначити будь-яким методом перехідний струм у колі, зумовлений дією одиничної напруги, а потім скористатись однією з формул вказаного інтеграла.

Якщо відома перехідна провідність електричного кола, то струм у перехідному процесі, зумовленому дією неперервно змінної напруги u = u(t) довільної форми, можна визначити за однією з відомих формул інтеграла Дюамеля, які в теоретичному сенсі є рівноцінними.

245

7.10. Питання та завдання для самостійної роботи

Контрольні питання

1.За яких умов в електричному колі виникає перехідний процес?

2.Як визначають початкові значення струмів та напруг під час розрахунку перехідних процесів?

3.Для чого складають характеристичне рівняння?

4.Які є способи складання характеристичного рівняння?

5.У чому полягає суть класичного методу розрахунку перехідного процесу?

6.Який математичний зміст мають усталена і вільна складові, якими подають розв’язок у класичному методі розрахунку перехідних процесів?

7.У чому полягає різниця розрахунку перехідного процесу класичним методом у разі дії в колі синусоїдної напруги та постійної?

8.У чому полягає суть операторного методу розрахунку перехідного процесу?

9.Як враховують початкові умови під час розрахунку перехідних процесів операторним методом?

10.Чим відрізняється розрахунок перехідних процесів операторним методом з нульовими і ненульовими початковими умовами?

11.Які переваги і недоліки класичного методу розрахунку перехіднихпроцесів?

12.Які переваги і недоліки операторного методу розрахунку перехідних процесів?

13.Як визначають корені характеристичного рівняння під час розрахунку перехідного процесу операторним методом?

14.Яку величину називають сталою часу електричного кола й від чого вона залежить?

15.Від чого залежить тривалість перехідного процесу?

16.Як визначити сталу часу з кривої перехідного процесу?

17.За яких умов виникає коливний перехідний процес?

18.Який опір називається критичним і як його визначають?

19.Яке найбільше значення може мати струм у колі під час вмикання RL-кола на синусоїдну напругу?

20.Яке найбільше значення може мати напруга на конденсаторі під час вмикання RC-кола на синусоїдну напругу?

21.Чи можуть бути змінними струм і напруга на конденсаторі у разі вмикання RLC-кола на постійну напругу?

22.За якої умови під час вмикання кола перехідний процес відсутній?

Екзаменаційні питання

1.Визначення початкових значень струмів та напруг під час розрахунку перехідних процесів.

2.Закони комутації та їх застосування для визначення початкових умов під час розрахунку перехідних процесів.

246

3.Загальний вигляд розв’язку диференціальних рівнянь, що описують перехідний процес у класичному методі.

4.Стала часу простого електричного кола, її визначення та фізичний зміст.

5.Характеристичне рівняння, методи його складання та корені.

6.Перехідний процес під час вмикання котушки індуктивності на постійну напругу.

7.Фізичні явища під час розмикання електричного кола з індуктивним елементом.

8.Перехідний процес під час вмикання кола з параметрами R, C на постійну напругу.

9.Розряд конденсатора на резистор.

10.Вмикання котушки індуктивності на синусоїдну напругу.

11.Загальний вигляд вільних складових струмів та напруг у простому колі з двома реактивними елементами залежно від значень коренів характеристичного рівняння.

12.Вмикання кола з послідовно з’єднаними конденсатором та резистором на синусоїдну напругу.

13.Перехідний процес у простому електричному колі з послідовним з’єднанням котушки індуктивності та конденсатора.

14.Аперіодичний та періодичний процеси під час розряджання конденсатора. Критичний режим.

15.Суть операторного методу розрахунку перехідних процесів. Перетворення Лапласа.

16.Операторне відображення похідної, інтеграла та деяких основних функцій.

17.Загальна методика розрахунку перехідних процесів у лінійних електричних колах операторним методом.

18.Операторні параметри заступної схеми електричного кола під час розрахунку перехідного процесу операторним методом.

19.Операторна заступна схема електричного кола.

20.Закони Ома та Кірхгофа в операторній формі.

21.Методи розрахунку операторних заступних схем.

22.Способи переходу від зображень за Лапласом до оригіналів. Теорема розкладу.

23.Розрахунок вільних складових струмів та напруг операторним методом.

24.Перехідні функції. Перехідний опір та перехідна провідність.

25.Розрахунок перехідних процесів в електричному колі під час вмикання на напругу довільної форми.

Завдання для самостійної роботи

Задача 7.1. Котушка реле з параметрами R = 50 Ом, L = 0,1 Гн, вмикається на затискачі джерела постійної ЕРС з параметрами R0 = 50 Ом, Е = 10 В. Визначити час, через який час струм досягне значення і = 0,05 А.

Відповідь: t = 0,693 10−3 c .

247

Задача 7.2. Два послідовно з’єднаних конденсатори, які заря-

248

t = 4 10−3 c ;

д) як зміниться визначене за пунктом г) значення струму, якщо L збільшити у два рази.

Відповідь: а) τ = 0,0125 А/с; б) i(t) = 20(1− e−250t ) А;

в) didt = 5 103 А/с; г) i (4 10−3 ) = 12,64 А; д) i (4 10−3 ) = 7,87 А.

Задача 7.9. Котушка індуктивності з параметрами L = 0,1 Гн, R = 10 Ом, вмикається на постійну напругу U = 100 В. Визначити через який час струм досягне значення, яке дорівнює половині усталеного.

Відповідь: t = 6,93 10−3 c.

Задача 7.10. Електричне коло живиться

249