Добавил:

faceless Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

Общая Электротехника и Электроника

Файл:

В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

.pdf

Скачиваний:

1729

Добавлен:

15.01.2018

Размер:

2.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

кривої iв(t). Зростання струму в зображеному на рис. 7.2 колі відбувається тим швидше, чим менша стала часу. Оскільки експонента не перетинає осі абсцис, то теоретично перехідний процес триває нескінченно довго. Однак на практиці можна вважати, що він закінчується через час t= (3÷5)τ. Тривалість перехідного процесу визначається лише параметрами електричного кола і не залежить від величини напруги, що діє в колі.

	i	iу(t)
	U	iу(t)
	U
	R
		i(t)
	τ	t
	− U	iв(t)
	− U
	R
		Рис. 7.3

Стала часу чисельно дорівнює проміжкові часу, за який вільна складова струму чи напруги зменшується в е = 2,718 разів. Відповідно струм у колі у разі вмикання на постійну напругу досягає 63,2 % від свого усталеного значення. За час t = 5τ струм становить і = 99,3 іу.

Б. Вмикання котушки індуктивності на синусоїдну напругу u = Um sin (ωt +ψ u ) .

Вимушена складова струму має вигляд iy (t ) = Im sin (ωt +ψ u − ϕ ) ,

де ϕ = arctg (ω L / R) , тому

i(t ) = i		(t ) + i	(t ) = I			(ωt +ψ		−	R	t
i(t ) = i	y	(t ) + i	(t ) = I	m	sin	(ωt +ψ	u	− ϕ ) + Ae L .
	y	в		m			u
				211

Зауважимо, що усталену складову можна визначити символічним методом.

Враховуючи початкові умови i(0) = i(0− ) = 0 , знаходимо

A = −Im sin (ψ u − ϕ ).

Загальний вираздля струмув перехідномупроцесі має вигляд

i(t ) = I			− ϕ ) − sin (ψ		− ϕ )e		t
i(t ) = I	sin (ωt +ψ		− ϕ ) − sin (ψ		− ϕ )e	−τ .		(7.27)
	m	u		u

Напругу на індуктивному елементі знаходимо як похідну від струму i(t)

di(t)

= L

= LI

ω cos(ωt +ψ

− ϕ ) +

sin (ψ

− ϕ )e−τ

. (7.28)

Приклад часових залежностей напруги u(t), струму i(t) та його складових наведено на рис. 7.4.

u	u(t)
i	i(t)
	i(t)
ψu	t
ϕ	iy (t)
	iy (t)
	Рис. 7.4

Характер зміни струмуi(t) в перехідномупроцесі залежить від миттєвого значення прикладеної напруги u(t) в момент комутації, тобто від початкової її фази ψ u . Як видно з (7.27), вільна складова

струму визначається добутком значення	синусоїдної	функції
sin(ψ u − ϕ ) на експоненту. Отже, у разі	(ψ u − ϕ ) = 0	вільна

складова дорівнює нулю і в колі відразу настає усталений синусоїдний режим. Якщо комутація відбувається за умови

212

sin(ψ u − ϕ ) = ±1,0 , то початкове значення вільної складової струму

максимальне і дорівнює i	= U	m	/ R2	+ X 2	. Однак максимальне
вmax		m

значення струму в колі завжди менше від подвійного значення його амплітудив усталеномурежимі.

7.5.2. Перехідний процес у колі з послідовно з’єднаними резистором і конденсатором

А. Вмикання конденсатора на постійну напругу

Розглянемо перехідний процес у зображеному на рис. 7.5 електричному колі за умови U = const.

U	i	R	C

Рис. 7.5

Вважатимемо, що до комутації конденсатор ємністю С був незаряджений. Отже, початкові умови нульові, тобто напруга на конденсаторі uc (0) = 0 .

За другим законом Кірхгофа для скомутованої схеми

U = Ri + uc .

(7.29)

Враховуючи, що i = C duc , одержуємо dt

u = RC	duc	+ u .	(7.30)

	dt	c

Характеристичне рівняння

RCλ + 1 = 0

(7.31)

має корінь p = −1/ (RC ) . Отже, стала часу τ = RC .

213

Напругу на конденсаторі в перехідному процесі подамо у вигляді суми усталеної і вільної складових

(t ) = u

(t ) + u

(t ) = u

(t ) + Ae−

св

Струм у колі визначається за формулою

ducy

−

i = C

= C

−

τ .

Якщо коло вмикається на постійну напругу U , то iy (t ) = 0 ,

усталена складова напруги на конденсаторі ucy (t ) = U ,

а стала

інтегрування A = − U . Отже,

− e−

e−

(t ) = U 1

;

i(t ) =

(7.32)

Часові залежності напруги на конденсаторі та струму у разі вмикання конденсатора на постійну напругу наведені на рис. 7.6.

uc
	ucу(t)
U
	uc (t)
	i(t)
	t
−U	ucв(t)
	Рис. 7.6

Б. Вмикання конденсатора на синусоїдну напругу. Якщо коло вмикається на синусоїдну напругу u = Um sin (ωt +ψ u ) , то усталена складова напруги на конденсаторі

ucy =	I	m		ωt +ψ u	− ϕ −	π
			sin			,
	ωC
						2

214

де

Im =			Um		;
		2		1 2

	R		+

				ωC

Отже,

	1
ϕ = −arctg		.

	ωCR

	(t ) = −	Im	cos(ωt +ψ		− ϕ ) + Ae−	t
u				u		τ	.

c		ωC

Враховуючи, що uc (0) = 0 , для визначення сталої А одержимо рівняння

0 = − Im cos(ψ u − ϕ ) + A .

ωC

Звідси

A = Im cos(ψ u − ϕ ) .

ωC

Отже, в перехідному процесі напруга на конденсаторі змінюється за законом

− ϕ )e−

u (t ) = −

cos(ωt +ψ

− ϕ ) − cos(ψ

(7.33)

ωC

а струм у колі

duc

− ϕ )e−

i = C

= I

sin (ωt +ψ

− ϕ ) −

cos(ψ

τ .

(7.34)

ωCR

Якщо в момент комутації початкова фаза прикладеної напруги ψ u = ϕ + π / 2 , то вільна складова відсутня і в колі відразу встановлюється усталений синусоїдний режим.

В. Розряд конденсатора на резистор. Розглянемо процес розряду конденсатора ємністю С, який заряджений до напруги U, на резистор з опором R (рис. 7.7). Очевидно, що перехідний процес відбувається за рахунок накопиченої в електричному полі

енергії Wc = CU 2 / 2

215

i (t)

U						R

Рис. 7.7

Оскільки конденсатор розряджається, то усталені значення струму іу і напруги на конденсаторі ucу дорівнюють нулю. Отже, необхідно визначити лише вільні складові.

Рівняння Кірхгофа для вільних складових має вигляд

Riв + ucв = 0 .

Враховуючи, що

iв = C ducв , dt

одержуємо для вільних складових диференціальне рівняння

ducв

+ ucв = 0 .

Розв’язок цього рівняння має вигляд

(t ) = u

(t ) = Ae−

= Ue−

св

RC ,

(7.35)

де A = uc (0) = U ,

τ = RC .

Для струму в колі одержуємо вираз

i(t ) = i (t ) = C

duc (t )

e−

= −

(7.36)

Перехідний процес під час розряджання конденсатора полягає в переході накопиченої в конденсаторі енергії електричного поля у теплову, яка виділяється в резисторі, тобто

∞	∞	U	−	t 2		CU	2

W = i2	(t)Rdt =			τ	Rdt =			.
			e
			e
0		R				2
0	0	R				2

Графіки струму та напруги в перехідному процесі наведені на рис. 7.8.

216

uc (t)

−	U	i(t)
−	R	i(t)
	R
		Рис. 7.8

7.5.3. Перехідний процес у колі з послідовно з’єднаними конденсатором і котушкою індуктивності

А. Аперіодичний розряд конденсатора. Розглянемо перехід-

ний процес, що виникає в зображеному на рис. 7.9 електричному колі, якщо конденсатор перед замиканням вимикача був заряджений до напруги U. На відміну від розряду конденсатора на резистор, під час якого напруга на конденсаторі монотонно спадає до нуля, його розряд на котушку індуктивності з параметрами R, L, може бути аперіодичнимабо періодичним, тобтоколивним.

R L

Рис. 7.9

Оскільки конденсатор розряджається, то усталена складова струму відсутня. Отже, диференціальне рівняння, яке описує перехідний процес, має вигляд

Ri	+ L	diв	+ u	cв	= 0 .	(7.37)

в		dt

	217

Виражаючи струмчерез напругунаконденсаторі, одержуємо

d 2ucв	+	R	ducв	+	1	ucв = 0 .	(7.38)
dt2
		L dt			LC

Диференціюючи рівняння (7.37) по t, одержуємо аналогічне рівняння для струму в колі

d	2i		R di			1
	в	+		в	+		i	= 0 ,	(7.39)

dt2			L dt			LC в

що свідчить про однаковий закон зміни напруги на конденсаторі та струму.

Характеристичне рівняння має вигляд

λ 2 +	R	λ +	1	= 0 ,	(7.40)

	L		LC

а його корені визначають за формулою

λ = −	R	±	R2	−	1	.

1,2	2L		4L2		LC

Характер вільного процесу залежить від коренів рівняння, які

визначаються підкореневим виразом. Зокрема, якщо R2 > 1 , то

4L2 LC

корені λ1, λ2 будутьдійсніі різні, азагальнийрозв'язокмає вигляд

u	= A eλ1t + A eλ2t ,		(7.41)
cв	1	2

деА1 і А2 – сталіінтегрування, які визначаютьсяз початкових умов

uc (0) = U ;

i(0) = 0 .

Враховуючи, що

= C (A λ eλ1t + A

λ eλ2t ),

(t ) = C

duc

(7.42)

1 1

одержуємо з рівнянь (7.41), (7.42) при t = 0

A1 =

λ2U

A2 = −

λ1U

;

λ2 −

λ2

λ1

− λ1

Напруга на конденсаторі та струм у колі змінюються за законом

u	(t ) =			U	(λ eλ1t	− λ eλ2t );	(7.43а)
u	(t ) =				(λ eλ1t	− λ eλ2t );	(7.43а)
св			λ1	2		1
			λ1	− λ2
	i	(t ) = λ1λ2CU (eλ1t − eλ2t ).					(7.43б)
	в			λ2 − λ1
				λ2 − λ1
				218

λ1,2

Рівняння (7.43б) можна записати в іншому вигляді, якщо врахувати, що добуток, коренів характеристичного рівняння (як рівняння другого порядку) дорівнює його вільному члену, тобто

λ1 λ2 = 1/LC. Отже,

i (t ) = U (eλ1t − eλ2t ). (7.44)

в	L(λ2	− λ1 )

Напруга наіндуктивномуелементі визначаєтьсяза формулою

uL (t ) =		U	(λ1eλ1t − λ2eλ2t ).	(7.45)
uL (t ) =	λ	− λ	(λ1eλ1t − λ2eλ2t ).	(7.45)
	2	1

Оскільки в колі є індуктивний елемент, то струм спочатку наростає від нуля до деякого максимального значення, а потім спадає до нуля. Чим більша індуктивність котушки, тим повільніше спадає напруга на конденсаторі.

Б. Періодичний розряд конденсатора. За значення актив-

ного опору

R = Rкр = 2 L / C

корені характеристичного рівняння (7.40) дійсні і рівні між собою. Такий опір називають критичним. У цьому граничному випадку процес ще буде аперіодичним. Зазвичай його називають граничним аперіодичним.

Періодичний (коливний) процес виникає під час розряду конденсатора на котушку індуктивності з параметрами R, L, якщо R < Rкр. У цьому разі корені характеристичного рівняння (7.40) комплексні спряжені, тобто = −α ± jω0 , де α = R /(2L) ,

ω0 = 1/(LC) − R2 /(4L2 ).

Напругунаконденсаторітаструм визначають за формулами

u	(t )	= u	(t ) = Ae−α t sin (ω		t + γ )		(7.46а)
C		Cв		0
i(t) = i (t) = −CAe−α t (α sin (ω				t + γ ) − ω cos(ω		t + γ )) ,	(7.46б)
в			0	0	0

тобто криві зміни uC (t) та i(t) мають характер згасаючих сину-

соїдних функцій з частотою власних коливань контуру ω0 і коефіцієнтом згасання α (рис. 7.10).

219

Рис. 7.10

Під час розряджання конденсатора відбувається обмін енергією між котушкою індуктивності і конденсатором, до того ж у резисторі відбувається незворотне її перетворення в теплову. Очевидно, що в ідеальному коливальному контурі (R = 0) відсутнє незворотне перетворення енергії і коливний процес має незгасаючий характер, причому частота ω0 вільних коливань

дорівнює резонансній частоті контуру.

7.6. Приклади розв’язування задач класичним методом

Приклад 7.1. Визначити перехідний струм i(t) у колі

(рис. 7.11), якщо e(t ) = 127sin (ωt − 50 ); R1 = R2 = 2 Ом; ωL = 3 Ом; f = 50 Гц.

R1	L
R1	R2
e

Рис. 7.11

220

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>