В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

РОЗДІЛ 6

ЧОТИРИПОЛЮСНИКИ

6.1. Загальна характеристика чотириполюсників

Численні електротехнічні пристрої, що призначені для перетворення та пересилання електричної енергії, мають два вхідні та два вихідні затискачі, які прийнято називати полюсами. Їх внутрішнє електричне коло може бути довільної складності. Такі пристрої називаються чотириполюсниками. Прикладами чотириполюсників є двообмоткові трансформатори, однофазні випростувачі, підсилювачі, електричні фільтри, двопровідні лінії електропересилання тощо.

Під час експлуатації здебільшого необхідно і достатньо знати тільки залежності між вхідними та вихідними струмами і напругами. Теорія чотириполюсників дає можливість розраховувати режими пересилання електричної енергії між входом та виходом чотириполюсника, не вдаючись до розрахунку струмів та напруг всередині чотириполюсника, що істотно зменшує обсяг розрахунків під час аналізу електротехнічних пристроїв. Основи теорії чотириполюсників розглядатимемо за усталених синусоїдних режимів, що дає змогу використовувати символічний метод. Розглянемо основні поняття та визначення, що стосуються чотириполюсників.

Чотириполюсник лінійний, якщо його схема складається винятково з лінійних елементів, а якщо до нього входить хоча б один нелінійний елемент, то він нелінійний.

161

Чотириполюсники позначають прямокутником з чотирма полюсами. На рис. 6.1 наведено загальноприйняті позначення

Зауважимо, що тут прийняте, так зване, несиметричне позна-

Рис. 6.1

Чотириполюсники, як і двополюсники, поділяються на пасивні та активні. Чотириполюсники, до схеми яких не входять джерела електричної енергії, називаються пасивними, а ті, що мають у своєму складі джерела, – активними. Активні чотириполюсники позначають прямокутником з написом А, а пасивні – з написом П (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Зазвичай букву П не пишуть, маючи на увазі, що чотириполюсник пасивний, а позначають лише активні чотириполюсники. Відзначимо, що пасивний лінійний чотириполюсник може мати в своєму складі джерела енергії, якщо їхня дія взаємно компенсується так, що напруги на обох парах розімкнених та від’єднаних від зовнішніх кіл затискачів чотириполюсника дорівнюють нулю. Дія

162

таких скомпенсованих джерел енергії не проявляється в зовнішніх колах, під’єднанихдо вхідних тавихідних затискачів.

но полюсів 2 − 2′ , тобто Z1вх = Z2вх , називається симетричним, а

якщо Z1вх ≠ Z2вх – несиметричним.

Чотириполюсники, що містять керовані елементи (електронні та напівпровідникові прилади), називаються керованими.

Якщо параметри чотириполюсника не залежать від параметрів схем, що під’єднані до його зовнішніх полюсів, то такий чотириполюсник називається автономним, а якщо залежать –

неавтономним.

У теорії прохідних чотириполюсників досліджують загальні його властивості стосовно полюсів, незалежно від внутрішньої схеми. Надалі розглядатимемо лише прохідні чотириполюсники як найпоширеніші в техніці.

Основні положення. Чотириполюсник – це частина електричного кола довільної складності, яка має два вхідні і два вихідні затискачі (полюси). Їх поділяють на: активні та пасивні; лінійні та нелінійні; симетричні та несиметричні; взаємні та невзаємні; автономні та неавтономні.

163

6.2. Рівняння прохідних пасивних чотириполюсників

Оскільки активний чотириполюсник завжди можна однозначно звести до еквівалентного пасивного із ззовні винесеними додатковими джерелами, розглянемо основні властивості та методи аналізу пасивних чотириполюсників.

Напруги і струми внутрішніх віток та вузлів прохідних чотириполюсників не розглядають, а беруть до уваги лише струми та напруги входу (U1, I1 ) і виходу (U2 , I2 ). Співвідно-

шення, які пов’язують між собою ці змінні, називаються рівнян-

нями чотириполюсника, а коефіцієнти при змінних – пара-

метрами. Рівняння чотириполюсника стосовно змінних U1, I1 , U2 , I2 записують, виражаючи будь-яку пару з них через іншу.

Кількість таких систем рівнянь дорівнює кількості комбінацій з чотирьох елементів по два, яка становить шість. Оскільки всі зазначені системи описують один і той же лінійний чотириполюсник, то будь-яку з них можна одержати з іншої системи за допомогою лінійних перетворень, а, значить, одну систему параметрів можна виразити через іншу.

Кожна з шести систем рівнянь чотириполюсника характеризується відповідними коефіцієнтами, які повністю визначають поведінку чотириполюсника стосовно його полюсів

Систему рівнянь чотириполюсника можна подати в одній з шести форм.

A -форма рівнянь чотириполюсника визначає залежності

A11 , A22 – безрозмірні коефіцієнти; A12 – має розмірність опору,

а A21 – провідності.

Коефіцієнтам чотириполюсника можна надати фізичну

входом та виходом при I2 = 0 .

У деяких підручниках застосовують інше, зручніше для написання позначення коефіцієнтів A -форми рівнянь чотириполюсника, яке не потребує написання індексів, згідно з яким

A -форма рівнянь є найпоширенішою для аналізу в системах пересилання електричної енергії. Вона дає змогу визначити струм I1 та напругу U1 на вході чотириполюсника, які необхідні

для забезпечення на виході (у споживача) струму I2 та напруги U2 (тобто заданої потужності).

B -форма рівнянь чотириполюсника є дуальною до A -

форми. Вона визначає залежності вихідних значень струму I2 та напруги U2 від вхідних – I1 та U1 , тобто у разі зміни напряму пересилання енергії. Для одержання цієї форми рівнянь необхідно систему рівнянь (6.3) розв’язати стосовно U2 та I2 ,

165

змінивши напрями струмів I1 та I2 на протилежні. B -форма рівнянь чотириполюсника має вигляд

Очевидно, що всі коефіцієнти рівнянь (6.6) мають розмірності провідностей. Відповідно фізична інтерпретація коефіцієн-

струмів I1 та I2 . Її можна одержати, якщо розв’язати рівняння (6.6) стосовно напруг U1 та U2

U1 = Z11I1 + Z12 I2 ; (6.8)

U2 = Z 21I1 + Z 22 I2

166

Отже, якщо поміняти вхід і вихід місцями, то в рівняннях A -форми необхідно коефіцієнти A11 та A22 поміняти місцями.

Якщо за такої заміни режим роботи зовнішньої частини кола не зміниться, то такий чотириполюсник називається симетричним. Інакше кажучи, чотириполюсник симетричний, якщо у разі зміни місцями джерела і споживача не змінюються струми і напруги на вході та виході чотириполюсника, інакше чотириполюсник – несиметричний. Для симетричного чотириполюсника – A11 = A22 ,

або A = D . Отже, симетричний чотириполюсник характеризується лишедвоманезалежними параметрами.

Основні положення. Відомо шість форм рівнянь чотириполюсника, які характеризують його режими роботи. Між коефіцієнтами цих форм існує однозначний зв’язок.

Визначник системи рівнянь взаємного чотириполюсника будь-якої форми завжди дорівнює одиниці.

6.3. Визначення коефіцієнтів чотириполюсника

Коефіцієнти чотириполюсника можна визначити двома способами: аналітичним – якщо відома внутрішня структура (схема) чотириполюсника та її параметри, і експериментальним – якщо є фізична модель (реальне коло) чотириполюсника.

Аналітичний спосіб було проілюстровано вище. Його застосування для кола довільної складності полягає в тому, що формується система рівнянь за оптимальним методом; у одержаній системі рівнянь струми двох полюсів та напруги між ними (ці полюси задані як вхідні 1–1′) виражаємо через струми двох полюсів та напруги між ними (ці полюси задані як вихідні 2–2′) (рис. 6.1).

Розглянемо експериментальний спосіб визначення параметрів чотириполюсника.

За аналогією з двополюсниками параметри чотириполюсника можуть бути визначені з дослідів неробочого режиму та короткого замикання. Оскільки прохідний пасивний чотирипо-

169

люсник характеризується трьома незалежними параметрами, то необхідно здійснити три експерименти – досліди неробочого режиму та короткого замикання за умови живлення з боку однієї пари полюсів і один із таких дослідів за умови живлення з боку другої пари полюсів.

Теоретичне обґрунтування експериментального способу визначення параметрів розглянемо на прикладі A -форми рівнянь симетричного чотириполюсника

U1 = A11U2 + A12 I2 ; (6.15) I1 = A21U2 + A22 I2 .

Як зазначалось вище, для симетричного пасивного прохідного чотириполюсника маємо дві додаткові умови

а, отже, незалежними є тільки два параметри. З урахуванням (6.16) для визначення усіх параметрів чотириполюсника достатньо провести лише два експерименти, наприклад, досліди неробочого режиму та короткого замикання з боку вхідних полюсів (затискачів).

Дослід неробочого режиму ( I2 = 0) . Із (6.15) витікає, що в режимі відсутності навантаження на виході чотириполюсника

U10 = A11U20 , I10 = A21U20 , отже,

де U10 , I10 – комплекси напруги та струму на вході чотириполюсника, Z10 комплексний вхідний опір у цьому експерименті.

Дослід короткого замикання (U2 = 0) . Із (6.15) витікає,

що в режимі короткого замикання на виході чотириполюсника U1k = A12 I2k , I1k = A21I2k . Звідси за аналогією з (6.17) одержимо

де U1k , I1k – комплекси напруги та струму в цьому експерименті, а Z1k – вхідний опір.

170