В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

Розв’язання. Комплексне значення струму в колі до комутації.

Миттєве значення струму

i = 25,4sin (ωt − 86 50′)А.

Визначаємо початкові умови

i(0) = 25,4sin (− 86 50′) = −25,35 А.

Усталений (вимушений) режим кола після комутації

i(0) = (35,3sin(– 106 20')+A) А.

Стала А = 8,45;

i(0+ ) = iу (0+ ) + iв (0+ )

iв (0+ ) = i (0+ ) − iу (0+ ) = −25,35 + 33,8 = 8,45 А .

Складаємо та розв’язуємо характеристичне рівняння

λL + R2 = 0; λ = − R2 = −210e−t , де L = 3/ω = 0,095 Гн.

L

Остаточно

i(t) = iу(t) + iв(t) = 35,2sin (ωt − 106 20′)+ 8,45e−210t .

Приклад 7.2. Знайти значення струму і в електричному колі (рис. 7.12) через час t = 0,002 с після вимикання рубильника,

якщо R1 = R2 = 5 Ом, L = 10 мГн, f = 50 Гц, e (t) = 220 2 sinω t , а

комутація відбувається в момент часу, коли е = Еm.

221

Розв’язання. Розрахуємо струм у колі до комутації. Для цього обчислюємо вхідний комплексний опір кола.

Z = R1R2 + jω L = 4e j51 35′ Ом.

R1 + R2

Визначивши комплексне значення струму I в докомутаційному режимі

де Z = 5 + j3,14 = 5,9e j32,13 .

Миттєве значення струму в усталеному режимі iy (t ) = 52,53sin (ωt + 57,87 ).

Повнийструм подамо яксумувимушеноїі вільної складових i(t ) = iy (t ) + iв (t ) = 52,6sin (ωt + 57 50′)+ Ae− τt .

222

Для визначення сталої інтегрування обчислюємо значення струму і як такого, що протікає через котушку індуктивності, в час t = 0

i(0) = 77,8sin 38 25′ A.

Враховуючи (7.35) і закони комутації, записуємо

77,5sin38 30′ = 52,6sin57 50′ + A ,

звідки постійна А = 4. Остаточно

i(t ) = 52,6sin (ωt + 57 50′)+ 4e− τt А.

Визначаємо значення струму при t = 0,002 с

i(0,002) = 52,6sin (36 + 57 50′)+ 4e−1 = 53,9 А.

Приклад 7.3. Розрахувати часові залежності струмів віток та напруги на котушці індуктивності в колі (рис. 7.13), якщо

U = 30 B; L = 1 Гн; R1 = R2 = R3 = 10 Ом.

Рис. 7.13

Розв’язання. Незалежні початкові умови

Запишемо рівняння Кірхгофа для кола після комутації (R1 закорочено):

i1 − i2 − i3 = 0 ; i3R3 + i1R2 = U ;

L di2 − i3R3 = 0 . dt

223

Розв’яжемо систему стосовно і2. Після перетворення одержимо рівняння

Складаємо характеристичне рівняння та визначаємо його корінь

Усталена та вільна складові струму i2:

Підставивши числові значення, одержуємо розв’язок

i2 (t) = 3 + Ae−5t A .

Використовуючи початкові умови, визначаємо сталу інтегрування.

i2 (0) = 3 + A; A = −1,5.

Приклад 7.4. Два індуктивно зв’язаних контури (рис. 7.14)

мають параметри: R1 = 5 Ом, L1 = 0,05 Гн, R2 = 10 Ом, L2 = 0,1 Гн і

взаємна індуктивність M = 0,06 Гн.

Знайти закони зміни струмів і1 та і2 в перехідному процесі, зумовленому розмиканням рубильника якщо, R0 = 5 Ом, а величина постійної ЕРС Е = 120 В.

224

Підставивши в (7.50) числові значення, визначаємо корені

Загальні вирази для струмів мають вигляд

Визначаємо струми усталеного (вимушеного) режиму

Сталі інтегрування знаходимо з диференціальних рівнянь (7.47) та рівнянь (7.51). Дляцьогодиференціюємо(7.51)

di1 = 0 + A1λ1eλ1t + A2λ2eλ2t ; dt

di2 = 0 + B1λ1e p1t + B2λ2e p2t . dt

та визначаємо значення похідних при t = 0+

Згідно із законами комутації струми і1(t) та і2(t) не змінюються стрибком. Отже, система рівнянь для визначення сталих інтегрування має вигляд

A1 + A2 = 12 ;

B1 + B2 = 0 ,

226

звідки знаходимо

A1 = 3,7; A2 = 8,3; B1 = −5,54; B2 = 5,54.

Підставляючи їх в (7.51), одержуємо залежності

i1 = (12 + 3,7e−71,5t + 8,3e−1000t )A;

i2 = (5,54e−71,5t + 5,54e−1000t )A.

Графікичасових залежностейструмівпобудовані на рис. 7.15.

Рис. 7.15

Приклад 7.5. За якого значення опору R в електричному колі з послідовним з’єднанням R, L, C період (частота ω0) коливань струму під час розряду конденсатора буде мінімальним, а при яких – максимальним.

Відповідь: Період коливань буде мінімальним і дорівнюватиме T = 2π/ω0 , де ω0 – частота, за умови R = 0. Він зростає і прямує до нескінченності в міру наближення значення R до

критичного Rkp = 2 L / C , коли корені характеристичного рівняння стають рівними і дійсними.

227

7.7. Операторний метод розрахунку перехідних процесів

7.7.1. Суть операторного методу. Класичний метод роз-

рахунку перехідних процесів можна застосовувати для аналізу як завгодно складних електричних кіл. Однак чим вищий порядок характеристичного рівняння, тим трудомісткішою є процедура знаходження сталих інтегрування. Як відомо з математики, одним із шляхів розв’язування лінійних диференціальних рівнянь є операторний метод. Він ґрунтується на використанні поняття зображення функції. Кожній функції часу відповідає функція комплексної змінної p = α + jω і навпаки – кожній функції

змінної p відповідає відповідна функція часу. Зауважимо, що зображення функцій часу використовується під час застосування символічного методу розрахунку усталених режимів в електричних колах синусоїдного струму, де зображенням синусоїдної функції часу є комплексне число.

Під час застосування операторного методу розрахунку перехідних процесів перехід від функції часу t до функції комплексної змінної p здійснюється за допомогою прямого перетворення Лапласа, згідно з яким функції f(t) дійсної змінної t ставиться у відповідність інша функція F(p) комплексної змінної p, яку називають зображенням. Такий перехід здійснюють заформулою

Інтегральне рівняння (7.56) відображає пряме перетворення Лапласа. Функція f (t ) називається оригіналом, а функція F ( p) –

зображенням за Лапласом. Інакше кажучи, оригінал і зображення – це дві функції: дійсної змінної t та комплексної змінної p, які пов’язані перетворенням Лапласа. Кожен оригінал має своє єдине

зображення.

Якщо функція F (p) є зображенням функції f (t), то скорочено записуватимемо так

У математиці на функцію f (t ) накладаються певні обме-

ження, однак усі функції, які використовуються в електротехніці, вимоги до них задовольняють.

Для знаходження оригіналу f (t ) за відомим зображенням F ( p) необхідно виконати обернене перетворення Лапласа за допомогою інтеграла Бромвіча

який є розв’язком інтегрального рівняння (7.56) стосовно невідомої функції f (t ) і можна одержати за методами теорії функцій комп-

лексного аргументу. Його використання дає змогу одержати формулитеоремирозкладу, якурозглянемодалі.

Операторний метод дає змогу формалізувати розв’язування диференціальних рівнянь. Цього досягається завдяки тому, що під час застосування операторного методу операція диференціювання зводиться до множення, а операція інтегрування – до ділення на комплекснузміннуp (подібно, як усимволічномуметодірозрахунку усталених режимів електричних кіл синусоїдного струму). У результаті система інтегро-диференціальних рівнянь дійсної змінної (оригіналу) замінюється системою алгебричних рівнянь стосовно зображень, тобто здійснюєтьсяїх алгебризація.

Отже, суть операторного методу розрахунку перехідних процесів полягає в переході від реальних функцій часу до їх зображень, розрахунку операторних струмів та напруг і здійснення зворотного переходу. Важливою властивістю операторного методу розрахунку перехідних процесів є відсутність необхідності обчислення сталих інтегрування, оскільки всі початкові умови враховуються під час переходу від систем інтегродиференціальних рівнянь до систем операторних алгебричних

рівнянь. Операторні зображення струму i(t ) та напруги u (t ) позначають відповідно як I ( p) та U ( p) .

Розрахунок перехідного процесу операторним методом виконується в такій послідовності:

а) здійснити перехід від функцій часу до їх операторних зображень;

229

б) виконати розрахунки операторних струмів та напруг із застосуванням будь-якого з відомих методів аналізу лінійних електричних кіл;

в) здійснити перехід від операторних зображень до функцій

часу.

Насамкінець зауважимо, що в літературі відоме, так зване, перетворення Карсона–Хевісайда, згідно з яким

однак під час розв’язування електротехнічних задач його рідко застосовують.

Основні положення. Суть операторного методу розрахунку перехідних процесів полягає в переході від реальних електричних величин до їх операторних зображень, виконання розрахунків і зворотного переходу від зображень до оригіналів.

Згідно з операторним методом розрахунку перехідних процесів пошук розв’язку переноситься з області функцій дійсної змінної t в область функції комплексної змінної p = α + jω .

Важливою властивістю операторного методу розрахунку перехідних процесів є відсутність необхідності обчислення сталих інтегрування.

7.7.2. Основні властивості перетворення Лапласа.

Математичним операціям над оригіналами відповідають операції над зображеннями і навпаки. Ці операції дають змогу знаходити зображення різних функцій, похідних та інтегралів з метою переходу від систем рівнянь стосовно оригіналів до систем операторних рівнянь, а також здійснювати зворотний перехід від операторних зображень до оригіналів. Перехід від функцій часу до операторних функцій здійснюється за допомогою прямого перетворення Лапласа, яке визначають за формулою (7.56). Однак на практиці цією формулою не доводиться користуватись, оскільки в теорії операторного числення знайдено зображення

230