В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

Для знаходження вільних складових як загального розв’язку однорідних диференціальних рівнянь необхідно визначати сталі інтегрування. Їх визначають з початкових умов, що є найбільшою проблемою класичного методу розрахунку перехідних процесів у складних електричних колах.

7.4.2. Характеристичне рівняння. Перехідні процеси відбуваються в електричному колі, яке утворилось у результаті комутації. Отже, для розрахунку перехідного процесу класичним методом необхідно скласти систему рівнянь за законами Кірхгофа для скомутованої схеми електричного кола. Згідно з класичним методом розрахунку перехідних процесів струми та напруги необхідно подати у вигляді суми вільних та усталених складових. Отже, вихідна система рівнянь розпадається на дві: для вимушених складових і для вільних.

У системі рівнянь для вільних складових відсутні збурювальні сили, тобто так звані праві частини рівнянь дорівнюють нулю, причому кількість рівнянь дорівнює кількості вільних струмів. Для знаходження останніх необхідно скласти характеристичне рівняння та знайти його корені. Існує два способи складання характеристичного рівняння:

а) на підставі головного визначника алгебризованої системи рівнянь для вільних струмів;

б) на підставі виразу для вхідного комплексного опору стосовно будь-якої вітки електричного кола.

Алгебризацію системи інтегро-диференціальних рівнянь для вільних складових можна здійснити формальною заміною в них операції диференціювання множенням на λ, а інтегрування – діленням на λ, де λ – корінь характеристичного рівняння. Характеристичне рівняння одержимо, прирівнявши до нуля головний визначник алгебризованої системи. Очевидно, що те ж рівняння можна одержати, якщо систему рівнянь, що описує перехідний процес, шляхом підстановки звести до одного рівняння вищого порядку і замінити в ньому похідні різних порядків відповідними степенями оператора λ.

201

Для складання характеристичного рівняння на підставі вхідного опору необхідно записати вираз останнього в комплексній формі, замінити в ньому jω на λ і прирівняти одержаний вираз до нуля. Зауважимо, що в разі наявності в схемі вітки з джерелом струму, не можна визначати вхідний опір стосовно цієї вітки. Під час визначення вхідного опору необхідно закоротити всі джерела ЕРС і розімкнути вітки з ДС.

Кількість значень коренів p характеристичного рівняння визначається його порядком (степенем). До того ж від кількості коренів та їхніх значень залежить характер зміни вільних складових струмів та напруг, а отже і загальний вигляд функцій, які їх описують.

7.4.3. Алгоритм розрахунку перехідних процесів класич-

ним методом. Загалом розрахунок перехідного процесу класичним методом складається з таких етапів:

а) розрахунок докомутаційного усталеного режиму в електричному колі та визначення незалежних початкових умов – значень струмів у вітках з котушками індуктивності та напруг на конденсаторах за t = 0;

б) складання системи рівнянь Кірхгофа стосовно миттєвих значень напруг та струмів для електричного кола, яке утворилось у результаті комутації;

в) визначення залежних початкових умов на підставі відомих з п. а) незалежних початкових умов та законів комутації;

г) складання характеристичного рівняння та визначення його коренів;

д) формування аналітичних виразів для вільних складових відповідно до значень коренів характеристичного рівняння;

е) визначення вимушених складових струмів та напруг шляхом розрахунку усталеного режиму в скомутованому електричному колі;

є) визначення сталих інтегрування; ж) подання струмів та напруг у вигляді суми вимушених і

вільних складових та визначення сталих інтегрування.

202

Реалізацію викладеного вище алгоритму розрахунку перехідного процесу класичним методом проілюструємо на прикладі перехідного процесу в електричному колі (рис. 7.1), в якому діє постійна ЕРС;

а) розрахунок докомутаційного усталеного режиму. Як видно з рис. 7.1, у докомутаційному усталеному режимі всі стру-

R2i2 + L di2 − 1 i3dt = 0; dt C

в) залежні початкові умови визначаємо, використовуючи незалежні початкові умови (7.1), з рівнянь (7.2), записаних для моменту часу t = 0+

i1 (0+ ) − i2 (0+ ) − i3 (0+ ) = 0;

203

г) характеристичне рівняння, складене на основі визнач-

ника з використанням системи рівнянь (7.2), має вигляд

Звідси одержимо

Проілюструємо інший спосіб складання характеристичного рівняння – з використанням загального виразу для комплексного вхідного опору стосовно затискачів джерела ЕРС

Простіший вираз для вхідного опору можна одержати, якщо його визначити стосовно вітки з конденсатором

Для одержання характеристичного рівняння необхідно в будь-якому з рівнянь (7.6) замінити jω на λ і одержаний вираз прирівняти до нуля. Легко переконатись, що отримані характеристичні рівняння будуть ідентичними з рівнянням (7.5).

Характеристичне рівняння (7.5) має другий порядок. Його корені визначають за формулою

Залежно від числових значень параметрів електричного кола корені можуть бути:

дійсні різні (причому обов’язково від’ємні)

λ1 = −δ1, λ2 = −δ2;

204

дійсні рівні (від’ємні)

λ1 = λ2 = −δ ;

комплексні спряжені з від’ємною дійсною частиною

λ1,2 = −δ ± jωв ;

д) вільні складові. Загальний вираз для вільних складових струмів і напруг визначається значенням коренів характеристичного рівняння.

Якщо ці корені дійсні і різні, то вільні складові струму і2 і напруги u2 мають вигляд

де А1, А2, B1, B2 – сталі інтегрування, тобто в колі відбувається згасаючий аперіодичний процес.

Якщо корені характеристичного рівняння дійсні і рівні, то вільні складові записуються у вигляді

i2в(t) = ( A1 + A2t )e−δ t ;

(7.9)

ucв(t) = (B1 + B2t )e−δ t ,

тобто наявний граничний (критичний) випадок аперіодично згасаючого процесу.

У разі комплексних коренів вільні складові мають коливний згасаючий характер

Рівняння (7.10) можна подати в іншому вигляді, а саме:

i2в(t) = Ae−δ t sin (ωвt +ψ i );

(7.11)

ucв(t) = Be−δ t sin (ωвt +ψ u ),

в яких визначенню підлягають величини A, B, ψ i , ψ u ;

е) усталені (вимушені) складові струму і2у та напруги ucу як частковий розв’язок системи неоднорідних диференціальних рівнянь (7.2) отримаємо за допомогою розрахунку усталеного режиму для скомутованого електричного кола. Оскільки ЕРС джерела

205

постійна, то струм і3у = 0, отже, і1у(0+) = і2у(0+), а рівняння, які описують усталенийрежим ускомутованомуколі, маютьвигляд

є) сталі інтегрування А1, А2, B1, B2 знаходимо на основі початкових умов та законів Кірхгофа. Оскільки сталих інтегрування чотири, а незалежних початкових умов дві, то для їх знаходження необхідно знати значення похідних струму котушки індуктивності та напруги на конденсаторі при t = 0+, які визначаємо на підставі вихідної системи (7.2).

Оскільки

i3 = C duc , dt

тодля визначення зазначених похідниходержимосистемурівнянь

Підставляємонезалежніпочатковіумови(7.1) врівняння(7.13)

Згідно з класичним методом розрахунку перехідних процесів струми і напруги подають у вигляді суми вимушених і вільних складових. Отже, для моменту часу t = 0+ одержимо

i2 (0+ ) = i2 y (0+ ) + i2в (0+ );

uc (0) = ucy (0) + ucв (0);

Для конкретності вважатимемо, що вільні складові струмів мають вигляд (7.10). Диференціюючи (7.10) по t, знаходимо

− (B1 cosωвt + B2 sinωвt )δ e−δ t .

Беручи до уваги (7.10), (7.12), (7.14), (7.17), одержуємо систему рівнянь

як суму усталених і вільних складових.

207

Так само можна знайти і інші струми та напруги в перехідному процесі.

Основні положення. Розрахунок перехідних процесів у лінійних електричних колах полягає у розв’язуванні системи звичайних диференціальних рівнянь, складених для електричного кола, яке утворилось внаслідок комутації.

208

Згідно з класичним методом розрахунку перехідних процесів струми та напруги подають у вигляді суми двох складових, одна з якихназиваєтьсявимушеною, або усталеною, а друга– вільною.

За фізичним змістом усталені складові – це струми та напруги в післякомутаційному усталеному режимі. Вони зумовлені дією джерел енергії.

Вільні складові зумовлені невідповідністю запасу електромагнітної енергії в реактивних елементах до комутації тому значенню, яке повинно встановитись у них після комутації. У реальних електричних колах вільні складові з плином часу завжди прямують до нуля.

Загальний вигляд для вільних складових залежить від коренів характеристичного рівняння, яке можна скласти двома способами: на підставі головного визначника алгебризованої системи рівнянь для вільних складових або на підставі вхідного опору, визначеного стосовно будь-якої вітки схеми.

7.5. Перехідні процеси в простих електричних колах

7.5.1. Перехідний процес у колі з послідовно з’єднаними резистором і котушкою індуктивності

А. Вмиканнякотушкиіндуктивностіна постійну напругу

Розглянемо електричне коло, схема якого зображена на рис. 7.2.

i

L

R u

Рис. 7.2

Перехідний процес у колі описується диференціальним рівнянням

dt

209

Однорідне рівняння, яке відповідає вільній складовій, має вигляд

Характеристичне рівняння

У разі вмикання електричного кола на постійну напругу (U = const) усталену складову струму визначають за законом Ома

R

Сталу інтегрування А знаходимо з початкових умов

i(0) = 0 ,

звідки A = −U / R .

Отже, струм у перехідному процесі змінюється за законом

На рис. 7.3 наведені криві струму i(t) та його складових iу(t) і iв(t) у перехідному процесі.

Величина

τ= 1 = L

λR

називається сталою часу (одиниця вимірювання – секунда). Вона характеризує швидкість спадання вільної складової струму в перехідному процесі. Графічно – це довжина піддотичної до

210