В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

Із принципу неперервності електричного струму витікають такі наслідки:

а) значення струму в будь-якому перерізі провідника нерозгалуженого електричного кола однакове (вітка характеризується одним струмом);

б) алгебрична сума струмів полюсів будь-якого багатополюсника дорівнює нулю.

Основні положення. Електричне коло складається з елементів, які поділяються на активні і пасивні. Активні елементи – це джерела електричної енергії, а пасивними є резистори, котушки індуктивності та конденсатори.

Заступна схема (схема заміщення) електричного кола – це розрахункова модель реального електричного кола, в якій реальні елементи замінені ідеальними. Електричне коло складається з віток.

Вітка – це частина електричного кола, в якій елементи з’єднані послідовно. У кожному елементі вітки протікає один і той самий струм. Вітку своїми кінцями під’єднують до вузлів.

Вузол – це точка, в якій з’єднані не менше ніж три вітки. Будь-який замкнений шлях, утворений вітками електричного кола, називається контуром.

Частина електричного кола з двома виділеними затискачами (полюсами) називається двополюсником. Окремі елементи електричногоколаможнарозглядатиякелементарнідвополюсники.

1.4. Джерела електричної енергії

Джерело електричної енергії на заступній схемі можна подати як джерело ЕРС або як джерело струму (ДС).

Джерелами ЕРС, як правило, зображають на заступній схемі джерела електричної енергії, які мають малі порівняно з опором навантаження внутрішні опори. У цьому разі заступна схема джерела складається з ідеального джерела ЕРС і послідовно з’єднаного резистора, який має опір, що дорівнює внутрішньому опорові джерела. Якщо внутрішнім опором джерела енер-

21

гії можна знехтувати, його подають у вигляді ідеального джерела ЕРС. Заступні схеми та вольт-амперні характеристики реального (а, б) та ідеального (в, г) джерел ЕРС наведені на рис. 1.2.

де R0 – внутрішній опір джерела. Для ідеального (R0 = 0) дже-

рела U = E .

Джерелами струму, як правило, зображають на заступній схемі такі джерела електричної енергії, які мають великий порівняно з опором навантаження внутрішній опір, а струм практично не залежить від величини опору навантаження. Реальне ДС зображають заступною схемою, до якої входить ідеальне ДС з паралельно увімкненим резистивним елементом (рис. 1.3, а). Ідеальне ДС має внутрішнійопір R0 = ∞ . НадаліструмДСпозначатимемо J .

Реальне джерело ЕРС можна замінити реальним ДС і навпаки. Зокрема, розділивши рівняння (1.15) на R0 , отримаємо

Рівнянню (1.16 б) відповідає заступна схема реального джерела струму, зображена на рис. 1.3, а, а його вольт-амперна характе-

22

ристика – на рис. 1.3, б. Заступна схема ідеального ДС наведена на рис. 1.3, в, айого вольт-ампернахарактеристика – на рис. 1.3, г.

Рис. 1.3

Формули (1.16) дають змогу замінити реальне джерело ЕРС реальним ДС і навпаки. Прикладом ДС може бути електронний підсилювач, внутрішній опір якого значно більший від опору навантаження, вимірювальний трансформаторструмутощо.

Основні положення. Джерело електричної енергії на заступній схемі можна подати джерелом ЕРС або джерелом струму (ДС). Джерело ЕРС (струму) характеризується величиною ЕРС (струму) і внутрішнім опором (провідністю). Реальне джерело ЕРС можна замінити джерелом струму і навпаки.

1.5. Пасивні елементи електричних кіл та їх рівняння

23

Велшичину опору R можна обчислити аналітично або визначити експериментально.

Котушка індуктивності характеризується двома параметрами: активним опором R та індуктивністю L . Величина індуктивності котушки залежить від конструктивного виконання і магнітної проникності середовища, по якому замикається магнітний потік. Одиниця вимірювання індуктивності – генрі (скорочено – Гн), який виражаєтьсячерезіншівеличини наступнимчином

де ψ – потокозчеплення котушки.

Вебер-амперна характеристика котушки індуктивністю L без феромагнітного осердя – лінійна

Ємнісний елемент характеризується параметром C, яким позначають величину ємності конденсатора. Величина ємності конденсатора залежить від геометричних розмірів і діелектричної

24

проникності середовища. Одиниця вимірювання ємності – фарада (скорочено – Φ ), якуможна виразити через іншівеличини

Уразі змінної в часі напруги на обкладинках конденсатора

вньому наявний струм зміщення. Рівняння ідеального конденсатора ємністю C запишемо, на підставі формули (1.6),

Основні положення. Електричне коло складається з елементів, які поділяють на активні і пасивні. Активні елементи – це джерела електричної енергії. Пасивними елементами є резистори, котушки індуктивності та конденсатори.

Резистор характеризується одним параметром – активним опором R , котушка індуктивності – активним опором R і індуктивністю L , конденсатор – ємністю C і провідністю G .

25

1.6. Закони Кірхгофа

Співвідношення між струмами, напругами та ЕРС у складному електричному колі визначаються двома законами Кірхгофа, які дають змогу розрахувати і проаналізувати електричне коло будь-якої складності. Закони Кірхгофа універсальні: за їх допомогою можна здійснювати розрахунок як електричних кіл постійного, так і змінного струмів, причому закон зміни останнього може бути будь-яким.

Перший закон Кірхгофа витікає з принципу неперервності електричного струму і відображає той факт, що всі заряди, які приходять до вузла складного електричного кола, виходять з нього. Тому згідно з першим законом Кірхгофа алгебрична сума струмів віток, які сходяться у вузлі, дорівнює нулю. Інакше кажучи, сума струмів, спрямованих до вузла, дорівнює сумі струмів, спрямованих відвузла. Математичнийзаписпершого законуКірхгофамає вигляд

де ik – струм k-ї вітки, зокрема і струм ДС. Згідно з виразом

(1.10), який відображає закон неперервності ліній електричного струму, спрямовані до вузла струми вважають від’ємними, а від вузла – додатними. Однак, як відомо, знаки у рівнянні можна змінити на протилежні. Наприклад, для зображеного на рис. 1.7 вузла перший закон Кірхгофа має вигляд

−i1 + i2 + i3 − J = 0.

Оскільки під час розрахунку складних J i2 електричних кіл дійсні напрямки струмів у вітках здебільшого не відомі, то для складання рівнянь Кірхгофа необхідно задатись (довільно) додатними напрямками струмів у

вітках, позначившиїх насхемістрілками. Другий закон Кірхгофа стосується електричного контуру,

під яким розуміють будь-який замкнений шлях, утворений вітками складного кола. Його формулюють так: у замкненому

контурі алгебрична сума спадів напруг на всіх пасивних елементах дорівнює алгебричній сумі ЕРС джерел. Інакше кажучи, у замкненому контурі алгебрична сума напруг і ЕРС

26

дорівнює нулю. Ці два формулювання можна відобразити математично у вигляді рівнянь

Під час складання рівнянь за другим законом Кірхгофа необхідно правильно визначати знаки спадів напруг та ЕРС. Напрями обходу контурів вибирають довільно. Користуючись формою (1.24а) запису рівнянь за другим законом Кірхгофа, перед спадом напруги uk ставимо знак плюс, якщо напрямок обходу контуру збі-

гається з вибраним додатним напрямом струму в цьому елементі, і – мінус, якщо ці напрямки протилежні. Під час використання форми (1.24б) запису рівнянь за другим законом Кірхгофа доцільно попередньо на кожному елементі позначити стрілкою додатні напрямки спадів напруг, які рекомендується вибирати протилежними до вибраногододатного спрямування струму, якпоказанонарис. 1.4–1.6.

Зазначимо, що у деяких підручниках застосовують і інше додатне спрямування спаду напруги, яке збігається з умовним додатним напрямком струму. Від цього система рівнянь, складених за законами Кірхгофа, не залежить, а інший підхід до вибору додатного спрямування спаду напруги на елементах зумовлює відмінний від описаного вище підхід до правил визначення знаків у складених за другим законом Кірхгофа рівняннях.

Складаючи рівняння за другим законом Кірхгофа, необхідно стежити за тим, щоб вибрані контури були незалежними. Контури будуть незалежними, якщо до кожного утвореного нового контуру входить хоча б одна вітка, яка не увійшла до вже утворених контурів. Цю вимогу задовольняє найпростіша система утворення контурів, що відповідають коміркам графа електричного кола, які називають натуральними. Відзначимо, що вітки з ДС контурів не утворюють. Це означає, що під час утворення незалежних контурів необхідно вважати цівітки розімкненими.

У загальному випадку задача розрахунку складного електричного кола полягає у визначенні невідомих струмів у вітках за заданих величин ЕРС та ДС. Отже, кількість рівнянь, складених за законами Кірхгофа, повинна дорівнювати кількості віток, крім віток зДС, струми яких відомі. Ізних запершим закономскладають

27

рівнянь, де q – кількість вузлів схеми. Решту рівнянь складають за другим законом Кірхгофа. Якщо до електричного кола входить

Основні положення. Електричне коло будь-якої складності можна розрахувати на підставі двох законів Кірхгофа. Перший закон Кірхгофа стосується вузла електричного кола, а другий – замкненого контуру. Вони формулюються так:

перший закон – алгебрична сума струмів віток, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю;

другий закон – алгебрична сума ЕРС і спадів напруг у замкненому контурі дорівнює нулю.

Для складання рівнянь Кірхгофа необхідно:

а) задатись (довільно) додатними напрямами струмів у вітках;

б) утворити (вибрати) незалежніконтури; в) задатись (довільно) напрямкамиобходу вибраних контурів.

1.7. Електрична енергія та потужність

Процес пересилання енергії визначається загалом потоком вектора Пойтінга, однак визначати її інтегруванням цього вектора немає необхідності, оскільки у разі стаціонарних явищ в електричних колах значення енергії можна одержати, користуючись поняттями напруги та струму.

Енергію, яка пересилається від джерела до двополюсника, обчислюють за формулою

де p – миттєве значення потужності, яка в кожний момент часу t пропорційна до миттєвих значень напруги u (t ) та струму i(t )

28

Миттєву потужність можна розглядати як швидкість зміни електромагнітної енергії в часі. Отже, опускаючи аргумент t , одержимо

Миттєва потужність p додатна в момент часу, коли u та i

мають однакові знаки, і від’ємна, коли ці знаки різні. Якщо для деякого споживача p > 0 , енергія надходить до нього, а якщо

p < 0 , вона повертається до джерела.

Електрична енергія, яку споживає резистор з опором R, визначається за формулою

t

WR = Ri2dt .

0

Індуктивний та ємнісний елементи енергії не споживають, а лише її накопичують у вигляді енергії магнітного та електричного полів. Тому котушку індуктивності та конденсатор називають реактивними елементами. Енергію ідеальної котушки індуктивності з параметром L, по якій протікає струм i, та конденсатора ємністю C, до якого прикладена напруга u, можна визначити відповідно за формулами

Основні положення. Миттєве значення електричної потужності визначається як добуток миттєвого значення напруги на миттєве значення струму. У загальному випадку миттєва потужність є функцією часу і може приймати як додатне, так і від’ємне значення.

У резисторі енергія перетворюється в інші види енергії, а індуктивний та ємнісний елементи можуть лише запасати її та віддавати. Тому, на відміну від резистора, ці елементи називають реактивними.

1.8. Дуальність електричних кіл

Порівнюючи математичний запис рівнянь елементів електричного кола (наприклад, (1.20) і (1.21), можемо зауважити, що за формою вони подібні. Елементи, для яких основні співвідно-

29

шення мають однакову структуру і їх можна одержати одне з іншого через відповідні заміни, називають дуальними. Ці заміни мають вигляд: i ↔ u , L ↔ C , R ↔ G , e ↔ J . Кількісні співвідношення, які пов’язують напруги і струми деякого електричного кола, справедливі для дуальних величин дуального електричного кола. Дуальними є елементи, зображені на рис. 1.8, а і 1.8, б.

а б Рис. 1.8

Залежності між напругами і струмами дуальних елементів мають такий вигляд:

uR = RiR ↔ iG = GuG ;

У разі послідовного з’єднання елементів додають напруги на них, а при паралельному – струми, тому послідовному з’єднанню елементів відповідає паралельне з’єднання їх дуальних аналогів, а паралельному – послідовне з’єднання дуальних аналогів. Наприклад, дуальними є електричні кола, зображені на рис. 1.9, а і 1.9, б, яким відповідають рівняння

30