UMLE6-106_F

83

A2

A2o B2

A1

B1

Рис. 108

При построении тени отрезка прямой на плоскости проекций может быть два случая: тень отрезка падает на одну плоскость проекций и тень отрезка падает на две плоскости проекций. В первом случае для построения тени отрезка необходимо найти тени его концов. Отрезок прямой, соединяющий полученные точки, и будет искомой тенью (рис. 109). Во втором случае тень отрезка имеет точку излома, лежащую всегда на оси проекций. Для нахождения точки излома используется один из двух методов:

метод вспомогательных точек или метод ложной тени.

Пусть тени концов отрезка АВ оказались на разных плоскостях проекций (рис. 110а). В таком случае нельзя соединить прямой точки А2и В1 . Найдем точку излома обоими указанными методами.

84

B2

A2

Рис. 110

1. Возьмем на отрезке АВ произвольную вспомогательную точку М и

будет точкой излома тени отрезка АВ. Остается соединить точки А2и Кх. Ломаная линия А2 КхВ1– искомая тень отрезка АВ. Если тень точки М окажется на 2, то ее следует соединить прямой с точкой А2и на продолжении этой прямой найти точку Кх, которую соединить с точкой В1 . В

85

случае, когда тень точки М попадет на ось проекций, эта тень и будет искомой точкой Кх излома тени отрезка. Для построения тени отрезка нужно соединить найденную точку излома с тенями концов заданного отрезка.

2. Метод ложной тени состоит в следующем: вначале строят тень от отрезка прямой на одной из плоскостей проекций, допуская, что вто-

рая плоскость – прозрачная. Искомая точка Кх является точкой пересечения оси х с найденной «ложной» тенью заданного отрезка. На рис. 110б показано построение «ложной» тени на 1*. Для этого найдены горизонтальные следы световых лучей, проходящих через точки А и В заданного отрезка. След луча, проходящего через точку А (тень А1 точки А), оказался на передней поле 1, а след луча, проходящего через точку В (ложная тень

мой точке Кх. Точку Кх следует соединить с фронтальным следом В2светового луча, проходящего через точку В, т.е. с истинной тенью точки В. Искомой тенью отрезка АВ будет являться ломаная линия А1 КхВ2 .

Плоскость, проходящую через заданный отрезок прямой параллельно лучам света, называют лучевой. Тень от отрезка прямой на плоскость проекций можно рассматривать как линию пересечения отсека лучевой плоскости с данной плоскостью проекций, т.е. как часть следа этой лучевой плоскости. На рис. 110 лучевая плоскость задана отрезком АВ и световыми лучами АА и ВВ .

При построении теней важно знать следующие основные положения.

1. Если отрезок параллелен плоскости, то его тень на эту плоскость

Рис. 111

86

* Аналогично можно было бы построить «ложную» тень на 2.

будет равна и параллельна самому отрезку (рис. 111а). На рис. 111б пока-

совпадает с направлением горизонтальной проекции луча света.

2.Тени параллельных прямых, падающие на параллельные плоскости, параллельны между собой.

3.Если плоскость окружности параллельна одной из плоскостей проекций (рис. 112) или какой-либо другой плоскости, то тень этой окружности, падающая на указанную плоскость, будет окружностью того же радиуса, причем ее центром является тень центра заданной окружности на данную плоскость. Тень окружности на плоскость, не параллельную плоскости этой окружности, будет иметь форму эллипса и строится по точкам.

l2 O2

x

l1o

O1o

l1

O1

Рис. 112

§ 32. ТЕНИ ОТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

При построении теней от геометрических тел необходимо находить как собственные, так и падающие тени. При этом в одних случаях снача-

ла строится контур собственной тени, а затем контур падающей тени, а в других – наоборот. Видимые тени штрихуют или отмывают.

ПРИМЕР 40. Построить тени прямого кругового цилиндра (рис. 113).

87

B1 D1

Рис. 113

Решение. Построим вначале контур собственной тени цилиндра. Для этого проведем две плоскости, касательные к боковой поверхности цилиндра и параллельные направлению световых лучей. Плоскости эти будут горизонтально проецирующими (так как в данном случае образующие цилиндра перпендикулярны 1), а следы этих плоскостей – параллельны горизонтальным проекциям лучей света. Проведем два таких следа, касательных к проекции нижнего основания. Через точки касания А1 и В1 пройдут линии касания – образующие АС и ВD, отделяющие освещенную часть боковой поверхности от неосвещенной, т.е. находящейся в собственной тени. Контуром собственной тени является АС12DBEA.

Для построения падающей тени цилиндра находим тени от образующих АС и BD* и нескольких точек 1, 2 …, взятых на контуре собственной

Решение. Тень основания совпадает с самим основанием. Построим тень вершины S. Если истинная тень S2 вершины конуса S оказалась на

* См. рис. 111б.

88

S2

S2

этом случае тень конуса имеет излом на оси х. В случае, если основание конуса не находится на плоскости проекций (рис. 114б), продолжим мысленно плоскость этого основания и найдем воображаемую тень S2вершины конуса на эту плоскость*. Касательные, проведенные из этой тени вершины к основанию конуса, определяют точки А и В, через которые проходят образующие AS и BS конуса, отделяющие освещенную часть боковой поверхности конуса от неосвещенной. Таким образом, проведенные образующие и дуга АСВ определяют контур собственной тени конуса (ASBCA). Контур падающей тени строится, как тень от контура собственной тени конуса.

* Тень S2находится по правилам построения точки пересечения прямой с плоскостью (см. § 12, рис. 45).

Рис. 115

ружностей* и вершины S1 . 3) Проведем плавные кривые m1 и n1(огибающие), касающиеся теней основания и окружностей – k1 , l1 … в точках 11, 21 , 31… Кривые m1 , n1и дуга p1 образуют контур падающей тени заданной поверхности. 4) Построение контура собственной тени произведем так называемым способом обратных лучей, для чего используем найденные точки 21 , 31… Эти точки, принадлежащие окружностям k1 , l1 …, являются тенями некоторых точек 2, 3 …, лежащих на окружностях k, l

…Чтобы построить горизонтальные проекции 21, 31 … указанных точек, проведем через точки 21 , 31… «обратные» лучи, т.е. прямые, параллельные световым лучам, но направленные им навстречу**.

Искомые точки 21, 31 … находятся на пересечении соответствующих обратных лучей с окружностями k1, l1 … Фронтальные проекции 22, 32 … точек 2, 3 … лежат на k2, l2 … соответственно. 5) Соединив точки 11, 21, 31

…и 12, 22, 32 … плавными кривыми, получим проекции m1 и m2 одной из линий контура собственной тени. Аналогично строится проекция n1 второй

*См. § 31, п. 3, рис. 112.

**Направления горизонтальных проекций обратных лучей на рис. 115 показаны стрелками.

90

кривой. Ее фронтальная проекция показана как невидимая.

Способ построения падающей тени поверхности вращения с помощью вспомогательных секущих плоскостей, перпендикулярных оси вращения, не во всех случаях является рациональным, а потому применяются и другие способы.

ПРИМЕР 43. Построить падающую и собственную тени поверхности сферы, показанной на рис. 116.

x

Рис. 116

Решение. Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными световым лучам, обертывающую заданную сферу. Фронтальная проекция этого обертывающего цилиндра касается фронтальной проекции заданной сферы в точках 12 и 22, а его горизонтальная проекция касается горизонтальной проекции сферы в точках 31 и 41. Найдем вторые (недостающие) проекции точек 1, 2, 3 и 4. Эти точки лежат на окружности m, по которой обертывающий цилиндр касается сферы. Указанная окружность является контуром собственной тени сферы и проецируется на 1 и