UMLE6-106_F

21

§ 8. ПЛОСКОСТЬ

Плоскость может быть задана: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 26а); 2) прямой и точкой, не лежащей на ней (рис. 26б); 3) двумя параллельными прямыми (рис. 26в) и 4) двумя пересекающимися прямыми (рис. 26г), а также любой плоской фигурой, лежащей в этой плоскости. При необходимости всегда можно перейти от одного из указанных способов задания плоскости к другому.

Рис. 26

Кроме указанных способов, плоскость может быть задана следами.

Следами плоскости называются линии ее пересечения с плоскостями про-

следами является частным случаем ее задания пересекающимися прямыми,

z

z

Рис. 27

22

лежащими в плоскостях проекций. Следы плоскости на двух плоскостях проекций пересекаются с осью проекций в одной точке (рис. 27) или ей параллельны, если плоскость параллельна этой оси. Плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения. Такая плоскость может быть задана любым из перечисленных выше способов (рис. 26 и 27).

Проецирующая плоскость (см. § 5) и все лежащие в ней элементы проецируются на перпендикулярную ей плоскость проекций в прямую, совпадающую со следом этой плоскости. Такая плоскость может быть задана одной прямой – своим следом, а другая ее проекция обычно не задается

(рис. 28 и 29).

2

x

1

1

x

1

Рис. 28

x

x

1

Рис. 29

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня. Плоскость, параллельная 1, называется горизонтальной. Она задается только фронтальным следом, который параллелен оси x (рис. 30а). Плоскость, параллельная 2, называется фронтальной.

23

1

1

Она задается только горизонтальным следом, который параллелен оси х (рис. 30б). Плоскость, параллельная 3, называется профильной и задается двумя следами: горизонтальным и фронтальным. Оба эти следа перпендикулярны, оси х и сливаются в одну прямую (рис. 30в).

§ 9. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

Существует два признака принадлежности прямой плоскости: 1) если две точки прямой принадлежат плоскости и 2) если прямая имеет с плоскостью одну общую точку и при этом параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. На рис. 31а дана прямая m и

Рис. 31

25

Г Л А В А II

МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

При решении многих задач начертательной геометрии бывает целесообразно преобразовать проекции одной или нескольких фигур, т.е. заданные проекции фигуры заменить новыми, более удобными для решения.

Ниже рассмотрено три метода: замены плоскостей проекций (§ 18), вращения (§ 19) и вспомогательного проецирования (§ 23, Б).

При применении метода замены плоскостей проекций фигура в пространстве остается неподвижной, а вместо заданных плоско-

стей проекций выбирают новые, относительно которых заданная фигура более удобно расположена, и на этих плоскостях строят новые проекции.

При применении метода вращения имеющиеся плоскости проекций ос-

таются на месте, а фигуру поворачивают около некоторой прямой –

оси вращения – до более удобного положения.

При вспомогательном проецировании фигура и заданные плоскости

проекций сохраняются, но изменяется направление проецирования и

вводится дополнительная плоскость проекций.

§ 18. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Пусть дана точка А и ее проекции А1 и А2 на плоскости 1 и 2, пересекающиеся по оси проекций х12* (рис. 54). Оставим одну из плоско-

стей, например 1, неизменной, а вторую – плоскость 2 – заменим новой фронтальной плоскостью проекций (рис. 54а). Эту новую плоскость обозначим 4*, а ось проекций – х14. Всякая новая плоскость проекций обязательно должна быть перпендикулярной оставшейся старой плоскости. Для построения проекции А4 точки А на эту плоскость нужно из оставшейся старой горизонтальной проекции А1 опустить перпендикуляр А1А14** на новую ось х14 и из полученной точки А14 восставить в плоскости

4 перпендикуляр к новой оси. На этом перпендикуляре должен быть отложен отрезок А14А4, равный расстоянию старой отброшенной проекции

А2 до старой оси х12, т.е. А14А4 = А12А2. Точка А4 – искомая. На рис. 54б показан эпюр этого построения.

Если отбрасывают горизонтальную плоскость ( 1), то заменившую ее плоскость ( 5) условно называют новой «горизонтальной» плоскостью проекций, хотя эта плоскость может занимать в пространстве произвольное положение.

На рис. 54в показано построение проекции А5 точки А на плоскость 5. Здесь выбрана новая ось х25. Новая линия связи А2А5 х25, на этой ли-

нии отложен отрезок А25А5 = А1А12.

ПРИМЕР 12. Дана прямая АВ общего положения. Требуется преобразовать эту прямую во фронталь (рис. 55а).

Решение. Заменяем 2 новой фронтальной плоскостью 4 АВ. Новая ось проекций х14 должна быть параллельна А1В1. Через точки А1 и

* Обозначение де не используется.

** Двойной индекс указывает, с какой осью пересекается данная линия связи.

Рис. 55

В1 проводим новые линии связи, перпендикулярные новой оси х14. От этой оси откладываем А14А4 = А12А2 и В14В4 = В12В2. В новой системе плоскостей проекций отрезок АВ будет фронталью и проекция А4В4 выражает его натуральную величину, а угол – натуральную величину угла ее наклона к

28

* Плоскость П6 называется «фронтальной» условно, так как она расположена не перпендикулярно плоскости горизонта.

ПРИМЕР 14. Плоскость общего положения АВС требуется преобразовать в проецирующую плоскость (рис. 57).

Рис. 57

Решение. Горизонталь, принадлежащая фронтально проецирующей плоскости, перпендикулярна фронтальной плоскости проекций 2, а горизонтальная проекция этой горизонтали параллельна линиям связи. В плоскости АВС зададим горизонталь h и выберем новую фронтальную плоскость проекций 4 h. Новая ось х14 h1. Тогда в системе 1 / 4 плоскость АВС станет проецирующей и ее проекция на 4 А4С4В4 обратится в прямую. Угол наклона заданной плоскости к плоскости 1 определяется углом между осью х14 и прямой А4В4**. Для определения угла наклона плоскости АВС к плоскости 2 следует преобразовать заданную плоскость в горизонтально проецирующую и произвести аналогичные построения.

ПРИМЕР 15. Преобразовать плоскость общего положения АВС в плоскость уровня. Это преобразование применяется для определения натуральной величины плоских фигур.

* При решении практических задач на эпюре точки пересечения линий связи с осью проекций обычно не обозначают. Не обозначают и плоскости проекций, так как их положение вполне определяется осью х, обозначенной с индексами, указывающими номера плоскостей.

29

** Этим заканчиваются построения, относящиеся к примеру 14. Дальнейшие построения на том же рисунке относятся к примеру 15.

Для решения такой задачи необходимо заменить плоскости проекций дважды. Первую замену выполняют так, как в предыдущем примере, в результате чего заданная плоскость проецируется на новую фронтальную плоскость 4 в прямую А4В4 (рис. 57). При второй замене, вместо горизонтальной плоскости 1 вводят новую горизонтальную плоскость 5 АВС. При этом новая ось х45 А4В4. Через точки А4, В4 и С4 проводим перпендикулярно оси х45 линии связи, на которых откладываем от этой оси расстояния, равные расстояниям точек А1, В1, С1 до отброшенной оси х14. Новая проекция А5В5С5 выражает натуральную величину заданной фигуры

АВС.

§19. МЕТОД ВРАЩЕНИЯ

Взависимости от положения оси, вокруг которой производится поворот заданной в пространстве фигуры, различают две основных разно-

видности этого метода: вращение вокруг проецирующих прямых и враще-

ние вокруг линий уровня. Видоизменением метода вращения вокруг про-

ецирующих прямых является метод плоскопараллельного перемещения.

А. Вращение вокруг проецирующих прямых

При вращении фигуры вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, все точки фигуры движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Центры этих окружностей лежат в точках пересечения оси вращения с указанными плоскостями. При вращении точки М (рис. 58а) вокруг горизонтально проецирующей прямой i, горизонтальная проекция М1 этой точки перемещается по окружности с центром

Рис. 58