UMLE6-106_F

128

ризонтальной проекции этой прямой и тангенсом угла ее наклона к пл.

**.

На рис. 160а показаны для наглядности две точки А и В в пространстве с их проекциями на пл. и приведены проекции А3 и В5 этих точек с числовыми отметками. Соединив прямыми точки А и В, а также проекции А3 и В5, получим отрезок прямой АВ в пространстве и его проекцию с числовыми отметками – А3В5. Эта проекция вполне определяет отрезок АВ в пространстве.

A3

Рис. 160

* Отметка точки, находящейся ниже пл. , считается отрицательной и проставляется со знаком «минус».

** Если прямая от заданной точки поднимается, тангенс угла считается положи-

тельным.

129

Для нахождения натуральной величины отрезка АВ, заданного его проекцией с числовыми отметками, следует мысленно построить в пространстве прямоугольную трапецию А3АВВ5 (рис. 160а) и повернуть ее вокруг проекции А3В5 до совмещения с плоскостью . Противоположная А3В5 сторона трапеции выразит искомую натуральную величину АВ, а угол

между натуральной величиной АВ и А3В5 – угол наклона заданной прямой к пл. .

Вместо трапеции обычно строят прямоугольный треугольник (рис. 160б), одним катетом которого является заданная проекция отрезка (в данном случае А3В5), а вторым – отрезок, равный разности расстояний концов

этого отрезка до пл. (в данном случае В5В= В5В – А3А = 5 – 3 = 2 м). Расстояния точек А и В от обозначают через hА и hВ (рис. 160а) и на-

зывают превышением этих точек над нулевой плоскостью, а длину проек-

ции отрезка (А3В5) – через L и называют заложением. Отношение i =

ваемом отрезке взять две точки, разность превышений которых равна 1 м, то заложение этого участка будет l = 3,5 м*.

Прямая может быть задана точками, имеющими дробные числовые отметки, а для решения целого ряда задач удобно иметь отметки точек

130

масштабе отрезок, равный разности между ближайшей целой отметкой и

отметкой точки А, т.е. А3,24′ = 4 – 3,2 = 0,8 м. Далее на той же прямой и в том же масштабе нужно отложить отрезки 4′5′ = 5′6′ = 1 м и последний от-

резок, равный разности между отметкой точки В и предыдущей целой отметкой, т.е. отрезок 6′6,5′ = 6,5 – 6 = 0,5 м. Полученную точку 6,5′ нужно соединить с В6,5 и через точки 4′ и 5′ провести прямые, параллельные прямой 6,5′В6,5. Эти прямые пересекут заданную проекцию А3,2В6,5 в искомых точках 4 и 5.

Две прямые в пространстве, как известно, могут быть взаимно парал-

лельными, пересекающимися и скрещивающимися. В первом случае проек-

ции обеих прямых будут взаимно параллельны, их интервалы равны между собой, а отметки должны возрастать в одном направлении (рис. 162а). Во втором случае проекции обеих прямых пересекаются и отметка точки пересечения должна быть одной и той же, независимо от того, к какой из прямых эта точка отнесена (рис. 162б).

Если хотя бы один из признаков взаимной параллельности или взаимного пересечения прямых не соблюдается, то данные прямые скрещивают-

ся (рис. 162в).

а) б) в)

Рис. 162

§ 50. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТЕЙ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана любым известным способом (точками, прямыми или их сочетанием), но

наиболее удобным является задание градуированной линией ската (см. §

10).

пл. показана проекция i, линии ската, т.е. масштаб уклона. На рис. 163б масштаб уклона приведен отдельно. Он изображается двумя параллельными прямыми, тонкой и утолщенной, пересеченными отрезками проекций указанных горизонталей. Расстояния между этими проекциями называются интервалами плоскости. Зная, что превышение точек первой горизонтали h = 1 м, а интервал равен l, легко найти угол наклона данной плоскости к

нулевой: tg = 1l . Этот же угол можно найти графически, построив прямо-

угольный треугольник, один катет которого равен 1, а другой – l.

Две плоскости в пространстве, как известно, могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Параллельные между собой плоскости имеют взаимно параллельные масштабы уклона, с равными интервалами и возрастанием (или убыванием) отметок в одном направлении (рис. 164а). Если масштабы уклона заданных плоскостей не удовлетворяют хотя бы одному признаку взаимной параллельности плоскостей, то такие плоскости пересекаются. На рис. 164б приведены две пересекающиеся плоскости и и построена линия их пересечения. Эта линия в пространстве проходит через точки пересечения горизонталей, принадлежащих обеим плоскостям и расположенных на одной высоте. Например, горизонтали с отметкой 3 обеих плоскостей пе-

132

ресекаются в точке А, а горизонтали с отметкой 6 – в точке В. Прямая АВ и будет линией пересечения заданных плоскостей, а А3В6 – ее проекцией.

Рис. 164

ПРИМЕР 73. Построить проекцию линии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана масштабом уклона i, а вторая – тремя точками А6, В3 и С4,5 (рис. 165).

Рис. 165

Решение. Проградуируем прямые АВ, ВС и АС* и через точки с одинаковыми отметками (4 и 5) проведем прямые. Это будут проекции горизонталей второй плоскости. Проведем проекции горизонталей с теми же отметками, но принадлежащих первой плоскости. Проекции горизонталей, имеющих отметку 4, пересекаются в точке М4, а имеющих отметку 5 – в точке N5. Прямая М4N5 и будет искомой проекцией линии пересечения заданных плоскостей.

* См. § 49, рис. 161.

133

§51. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

1.Прямая лежит в плоскости, если она имеет с этой плоскостью по крайней мере две общие точки.

ПРИМЕР 74. В плоскости, заданной масштабом уклона i, провести прямую АВ общего положения (рис. 166).

заданной масштабом уклона i (рис. 167).

Решение. Проградуируем заданную прямую. Так как проекции точек прямой, имеющих отметки 3, 4, 5…, попали на проекции горизонталей плоскости с теми же отметками, то указанные точки будут общими и для прямой, и для плоскости, следовательно, прямая лежит в плоскости.

ПРИМЕР 76. Через точку А, лежащую в плоскости, заданной масшта-

масштабе чертежа) сделаем засечки на проекциях двух ближайших горизонталей: с отметками 2 и 4. Полученные точки В2 и С4 будут лежать на искомой прямой. Кроме прямой ВС, будет еще одна прямая DE, удовле-

135

** Так как из любой точки, лежащей вне окружности (при lпл < lпр), можно провести к этой окружности две касательные, то задача в данном случае имеет два решения, при lпл = lпр – одно и при lпл > lпр – не имеет решения.

2.Если прямая параллельна плоскости, то, как известно, в этой плоскости имеется бесчисленное множество прямых, параллельных данной прямой. Чтобы через заданную точку, не лежащую в данной плоскости, провести прямую, параллельную данной плоскости, нужно вначале провести любую прямую в этой плоскости, а затем параллельно ей – искомую прямую*.

3.В случае, если прямая пересекается с плоскостью, нужно уметь находить проекцию точки их пересечения. Эта задача, как и в других видах проекций, решается в три приема: 1) через заданную прямую проводят вспомогательную плоскость, 2) строят прямую пересечения заданной и вспомогательной плоскостей и 3) находят точку, в которой заданная прямая пересекает построенную линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей. В проекциях с числовыми отметками в отличие от других видов проекций в качестве вспомогательной целесообразно применять плоскость, не проецирующую, а общего положения**. Эту вспомо-

гательную плоскость удобно задавать двумя горизонталями, проходящими через точки заданной прямой, имеющие целые отметки.

ПРИМЕР 78. Плоскость задана масштабом уклона i, прямая – ее проекцией А7В10. Найти проекцию точки К их встречи (рис. 170).

136

** Горизонтально проецирующая плоскость проецируется на в прямую, совпадающую с проекцией заданной прямой, вследствие чего нахождение искомой точки затрудняется: приходится указанную горизонтально проецирующую плоскость совмещать с и строить на ней дополнительную проекцию.

4. Известно, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости, а следовательно, и линии ската.

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости общего положения, то проекция прямой параллельна масштабу уклона данной плоскости, интервалы прямой и плоскости обратны по величине, а их числовые отметки возрастают в обратных направлениях.

m

C

Из чертежа видно, что если на линии ската DC и прямой m от их точек пересечения с (точки D и К соответственно) нанести числовые отметки, то