UMLE6-106_F

117

всех горизонтальных прямых, лежащих в плоскости «стены». Перспективой следа той же «стены» на опущенной плоскости является О0W′****; г) Чтобы построить перспективы точек J, Q и U, отложим на фронтальном следе «стены» от точки О высоты этих точек над пл. , для чего проведем прямые J2J2′, Q2Q2′ и U2U2′, параллельные оси х, до пересечения с О0О. Точки J2′, Q2′ и U2′ соединим прямыми с W′*. Через J1′ проведем прямую, параллельную k, до пересечения в точке 1 с О0W1′, а через эту точку – прямую, параллельную О0О, до пересечения в точке 2 с J2′W′. Точка 3 = 12 ОW′, отрезок 32 является перспективой высоты точки J (натуральная величина этой высоты ОJ2′). Через точку 2 проведем прямую j′ и найдем J′ = j′

j. Аналогично найдены Q′ и U′. Точку J′ соединим с F1′ и F2′ и найдем точки L′ = J′F1′ l и N′ = J′F2′ n. Соединив точку Q′ с F1′ и F2′, получим точки R′ и Т′. Все полученные точки следует должным образом соединить между собой.

Применение «боковой стены» особенно целесообразно в тех случаях, когда одна из точек схода перспектив на h уходит за пределы чертежа.

§ 47. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТЕНЕЙ

Построение теней в перспективе имеет наибольшее значение в сравнении с другими видами проекций, потому что, как известно, перспектива применяется для наглядных изображений, а тени увеличивают наглядность чертежа.

Тени в перспективе строят при расположении источника света как в бесконечности (солнечные тени), так и на конечном расстоянии (факельные тени)**. При построении в перспективе солнечных теней положение источника света, а следовательно, и направление световых лучей никакими нормами не устанавливаются и выбираются так, чтобы эти тени придавали изображению наибольшую наглядность. Следует различать три характерные расположения источника света Т: 1) сзади от наблюдателя (слева или справа); 2) спереди от наблюдателя (слева или справа) за освещенным предметом и 3) слева или справа от наблюдателя. Во

*Прямые J2′W′, Q2′W′ и U2′W′ являются перспективами горизонтальных прямых, проведенных в плоскости «стены» на высоте расположения точек J, Q и U.

**Источник света иногда называют «светилом».

***В обоих этих случаях перспектива Т1′ основания источника света, являющаяся точкой схода оснований лучей света, находится на линии горизонта, так как основание Т1 лежит в пл. в бесконечности.

118

всех этих случаях источник света располагается выше точки зрения. В первом случае световые лучи являются нисходящими и их точка схода Т′, являющаяся перспективой источника света, лежит ниже линии горизонта. Такое расположение источника света дает обычно наиболее удачные тени. Во втором случае световые лучи

– восходящие, и их точка схода лежит выше линии горизонта. Это расположение источника света целесообразно, когда в освещенном предмете имеются арки и другие сквозные проемы, через которые проникает свет***. В третьем случае световые лучи и их основания не имеют то-

чек схода: лучи располагаются параллельно картине, а их основания – параллельно основанию k картины. В третьем случае построения получаются наиболее простыми, а изображение достаточно наглядным, поэтому таким расположением источника света широко пользуются.

Рассмотрим все три случая на примерах.

ПРИМЕР 68. Построить в перспективе тени конуса с вершиной А, стоящего на пл. и точки М, находящейся в пространстве (рис. 153). Положение источника света – сзади, слева (первый случай).

Решение. Выберем на картине линию горизонта h, положение перспективы Т′ источника света и Т1′ – его основания. Построим перспективу А0′ тени от вершины конуса, падающей на . Для этого через точки А′ и Т′ проведем прямую А′Т′ – перспекти-

Через А0′ проведем касательные А0′В′ и А0′С′ к перспективе основания конуса. Через найденные точки касания пройдут перспективы А′В′ и А′С′ образующих конуса, отделяющих освещенную от неосвещенной части его боковой поверхности. Таким образом, контурами собственной и падающей тени конуса в перспективе будут соответственно А′В′а′С′А′ и А0′В′а′С′А0′.

Рис. 153

Для построения тени от точки М проведем через М′ и Т′ перспективу М′Т′ светового луча, а через М1′ и Т1′ – перспективу М1′Т1′ основания луча. Эти две прямые пересекутся в точке М 0 . Если точка М 0 окажется вне контура падающей тени конуса, то эта точка является перспективой действительной тени точки М на плоскости . Если же М 0 окажется внутри контура тени от конуса (как в данном случае), то эта точка является мнимой тенью, а действительная упадет на боковую поверхность конуса. В перспективе это будет точка М0′. Чтобы ее построить, соединим А0′ с М 0 и найдем точку Е′ = А0′ М 0 а′. Соединив ее с А′ получим в перспективе образующую А′Е′, тенью которой является отрезок

Е′А0′. Искомая точка М0′ = М′Т′ А′Е′.

ПРИМЕР 69. Построить перспективу тени арки. Перспектива арки, линия горизонта h, точки F1 и F2 – схода прямых контура основания арки, точки схода: Т′ – световых лучей и Т1′ – их оснований заданы (рис. 154)*.

Решение. Точка Т′ схода световых лучей (перспектива источника света) задана выше линии горизонта, следовательно, лучи являются восходящими прямыми, а источник света расположен спереди от зрителя, за заданным предметом (второй случай).

120

Через точку Т1′ проведем касательные к перспективе основания арки: Т1′11′, Т1′81′, Т1′121′ и Т1′131′. Указанные касательные являются перспективами оснований лучей, проходящих через точки 1, 8, 12 и 13**. Построим перспективы теней этих точек, для чего проведем через Т′ и точки 1′, 8′, 12′ и 13′ перспективы лучей. Ис-

тивы тени от дуги 123 … проведем перспективы лучей Т′2′, Т′3′ … и перспективы их оснований Т1′21′, Т1′31′ … Искомые точки будут 20′ = Т′2′ Т1′21′, 30′ = Т′3′ Т1′31′ … Тем же путем построим перспективу тени 110′ от точки 11 дуги 12 11 10 … Полученные точки нужно должным образом соединить. К кривым 40′50′ и 120′110′ следует провести общую касательную, которая замкнет дугу 11′10′20′30′40′120′121′***. Перспектива тени от дуги 131 13 14 … построена аналогично.

Точка 180′ = 160′170′ 81′80′. Из этой точки проведем обратный луч 180′18′ и найдем точку 1 8 = 180′18′ 81′8′. Через 1 8 пройдет перспектива тени, падающей от дуги 17 18 на внутреннюю поверхность арки. Для построения этой тени нужно найти тени одной-двух точек, взятых на указанной дуге и соединить полученные точки плавной кривой ****.

*Точки F1, F2, Т′ и Т1′ ушли за пределы рис. 154 и потому не показаны.

**В точках 12 и 13 сопрягаются прямые ребра с дугами.

***Указанная касательная является перспективой некоторой образующей внешней цилиндрической поверхности арки. Эта образующая отделяет освещенную от неосвещенной части названной поверхности и имеет с проведенной касательной общую точку схода F1.

****На рис. 154 эти построения не показаны.

121

ПРИМЕР 70. Построить в перспективе тени прямоугольного параллелепипеда (рис. 155) при направлении световых лучей параллельном картине (третий случай)*. Линия горизонта h и на ней две точки F1 и F2 – схода параллельных прямых – заданы.

Рис. 155

Решение. Найдем контур собственной тени заданного параллелепипеда в перспективе. Для этого проведем прямые, касательные к основанию параллелепипеда, параллельные основанию лучей. Такие прямые пройдут через точки В1′ и D1′, следовательно, видимая грань В1′В′С′С1′, невидимая – D1′D′С′С1′ и основание А1′В1′С1′D1′ будут в собственной тени, а остальные три грани освещены. Контуром собственной тени в перспективе в данном случае является А1′В1′В′С′D′D1′А1′. Чтобы построить падающую тень, достаточно найти тени трех вершин: В, С и D, т.е. точки В0′, С0′ и D0′. Для этого через В′ проведем направление перспективы светового луча, а через В1′ – направление его основания. Указанные два направления пересекутся в точке В0′ – перспективе тени точки В. Аналогично находятся точки С0′ и D0′. Контуром падающей тени будет А1′В1′В0′С0′D0′D1′А1′.

Так как в пространстве ребра ВС и СD параллельны пл. , то их тени на эту плоскость параллельны самим ребрам, т.е. В0С0 ВС и С0D0 СD. Следовательно, в перспективе указанные взаимно параллельные прямые будут иметь общие точки схода, лежащие на h:

122

F1 = В′С′ В0′С0′ и F2 = С′D′ С0′D0′.

В заключение рассмотрим пример построения факельной те-

ни.

ПРИМЕР 71. Построить в перспективе факельные тени пирамиды (рис. 156). Положение Т′ – источника света и Т1′ – его основания, а также линии горизонта h заданы.

* Направление световых лучей показано стрелкой, основания лучей параллельны

k.

T'

A'

h

Рис. 156

Решение. Так как в данном случае источник света находится на конечном расстоянии от картины, то перспектива Т1′ основания этого источника расположится ниже линии горизонта. Построим в перспективе тень А0′ вершины А пирамиды. Для этого через точки Т′ и А′ проведем перспективу светового луча, а через Т1′ и А1′ – перспективу его основания. Эти две прямые пересекутся в искомой точке А0′. Через А0′ проведем касательные А0′В1′ и А0′D1′ к перспективе основания пирамиды. Контуром собственной тени в перспективе будет А′В1′Е1′D1′А′, а падающей – А0′В1′Е1′D1′А0′.

123

§ 48. ПОСТРОЕНИЕ ОТРАЖЕНИЯ В ВОДЕ

Для придания большей эффектности перспективе проектируемого строительного сооружения, иногда его изображают расположенным у открытого водоема: на берегу озера, пруда или реки, и строят отражение этого сооружения в зеркальной поверхности воды.

Известно, что отражение любой точки в зеркальной плоскости симметрично самой точке относительно этой плоскости. Отражающую плоскость обычно считают совпадающей с предметной.

Если задана перспектива А′В′ отрезка АВ прямой, расположенного наклонно к поверхности воды , причем точка А (рис. 157), то для построения перспективы отражения отрезка в этой поверхности нужно знать

В0 прямой, получим перспективу отражения прямой АВ**. Продолжим мысленно перспективы вертикальных стержней фермы J′E′, L′G′, М′Н′ и най-

тивами отражений узлов фермы Е, G и Н***. Что-

124

бы построить перспективу отражений узлов J, L и M, нужно на продолжениях тех же вертикалей от точек Е0 , G0и Н0отложить вниз отрезки Е0 J0=

Е′J′, G0 L0 = G′L′ и Н0 М0 = Н′М′. Соединив должным образом между собой все найденные точки А0 ,

J0 , Е0 …, получим перспективу отражения в воде одной из ферм моста. Отражение второй фермы невидимо и потому не показано. Через точки Е0 , G0и Н0проходят также перспективы отражений поперечных балок ЕN, GQ и HR, расположенных под проезжей частью моста, а через точки J0 , L0и М0 – перспективы отражения верхних стержней. Все эти перспективы сходятся в одной точке F1.

*Точки А1′ и В1′ лежат на поверхности воды, так как эта поверхность совпадает с

пл. .

**Перспектива А′В′ – самой прямой и А0′В0′ – ее отражения имеют общую точку схода F2 на h.

***Узлами фермы называют точки, в которых пересекаются осевые линии ее

стержней.

125

h

в F2

в F1

Рис. 158

126

Г Л А В А X

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

Во всех рассмотренных выше методах проецирования, для установления определенности положения в пространстве проецируемых точек и фигур, применяется две проекции. В методе ортогональных проекций применяются фронтальная и горизонтальная проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости. В аксонометрии используются две проекции на одну плоскость: аксонометрическая проекция самой точки или фигуры с координатными осями, к которым она отнесена, и «вторичная» проекция на ту же плоскость. В перспективных проекциях так же, как и в аксонометрии, строятся на одну плоскость (картину) две проекции – самого объекта и его основания.

Если размеры проецируемого объекта в вертикальном направлении малы в сравнении с размерами в горизонтальных направлениях, выполнить наглядное и достаточно удобоизмеримое изображение объекта* любым из рассмотренных методов крайне затруднительно, а иногда невозможно. В этих случаях целесообразно применение метода с числовыми отметками. В отличие от всех указанных видов проекций, рассматриваемый в настоящей главе метод требует построения только одной проекции – на горизонтальную плоскость , которую называют «нулевой»**.

Положение проецируемых точек в пространстве по высоте определя-

*Например, дороги или рельефа местности.

**За «абсолютный нуль» в России принимается уровень Балтийского моря у Кронштадта.

ется их расстоянием от нулевой плоскости обычно в метрах и отмечается цифрами в виде индексов справа, внизу у букв, обозначающих проекции

данных точек на пл. . Точки в пространстве, как и во всех рассмотренных видах проекций, будем обозначать прописными буквами латинского алфавита, а проекции этих точек – теми же буквами с индексом, соответствующим числовой отметке данной точки*.

С помощью метода с числовыми отметками изображается рельеф местности, нанесенные на нем дороги, а также решаются многие задачи на пересечение откосов местности, проектирование земляных сооружений, определение объема земляных работ и другие.