UMLE6-106_F

P1o

R 1o

B 1o

A1 B1

Рис. 124

114

Г Л А В А VIII

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Слово «аксонометрия» происходит от двух греческих слов «axon» – ось и «metreo» – меряю, и в переводе означает осеизмерение. Аксономет-

рические проекции получаются при параллельном проецировании предмета вместе с прямоугольной системой координат, к которой он отнесен, на некоторую плоскость , называемую плоскостью аксонометрических проекций. Расположение предмета и осей координат относительно этой плоскости, вообще говоря, может быть произвольным.

Аксонометрические проекции по своим свойствам занимают промежуточное положение между проекциями центральными и ортогональными на две плоскости: они значительно более наглядны, но несколько менее удобоизмеримы, чем ортогональные проекции, и несколько менее наглядны, но значительно более удобоизмеримы, чем проекции центральные.

Аксонометрические проекции применяются главным образом для по-

лучения наглядного изображения в дополнение к комплексному чертежу, т.е. к ортогональным проекциям.

§35. СХЕМА АКСОНОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

ИОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АКСОНОМЕТРИИ

Представим себе некоторую точку А, расположенную в пространстве и отнесенную к прямоугольной системе координат Оxyz (рис. 125). Построим параллельную проекцию заданной точки вместе с координатной системой на произвольную плоскость , которую называют плоскостью аксонометрических проекций. Направление проецирования можно выбрать также произвольно, но оно не должно быть параллельно ни одной из заданных осей координат. Тогда эти оси x, y, z спроецируются на плоскость

в три прямые x′, y′, z′, называемые аксонометрическими осями.

115

Рис. 125

Аксонометрические оси пересекаются в точке О′, являющейся проекцией начала координат О. Следовательно, аксонометрические оси – это

параллельная проекция на плоскость трех взаимно перпендикулярных осей координат в пространстве.

Координаты точки А в пространстве равны отрезкам ОАx = АyA1 = xА, АxA1 = yА, A1A = zА. Построение аксонометрических проекций этих отрезков начнем с построения проекции точки Аx. Ее аксонометрическая проекция лежит на оси x′. Следовательно, необходимо через точку Аx провести прямую, параллельную направлению проецирования ОО′, до пересечения с осью х′. Полученная точка пересечения Ах и будет аксонометрической проекцией точки Ах. Затем через точку Ах проведем прямую, параллельную оси y′ (аксонометрическую проекцию направления прямой AxA1), после чего через точку А1 проведем прямую, параллельную направлению проецирования, до пересечения в точке А1 с прямой, проведенной через Ах . Полученная точка А1называется вторичной проекцией точки А. Этот термин принят потому, что точка А1является проекцией точки А1, которая в свою очередь есть проекция точки А на плоскость xOy.

Через найденную точку А1 проведем прямую, параллельную оси z′ (аксонометрическую проекцию направления прямой А1А), до пересечения с прямой, проведенной через точку А параллельно направлению проецирования. Полученная точка А есть аксонометрическая проекция точки А.

116

Отрезки Аy′А1′ = xА′, Аx′A1′ = yА′ и А1′А′ = zА′, представляющие собой аксонометрические проекции координат xА, yА, zА заданной точки А, называют ак-

сонометрическими координатами точки А′.

Как видно из рис. 125, отрезки, отложенные на осях координат x, y, z или расположенные им параллельно (например, координаты точки xА, yА и zА), проецируются на плоскость аксонометрических проекций в общем случае с искажением, причем эти искажения могут быть различными по всем трем аксонометрическим осям. Отношения длин аксонометрических проекций таких отрезков к их собственной длине, называют коэффициен-

тами (или показателями) искажения по соответствующей аксонометри-

кажения соответственно по осям х′, у′ и z′.

Если на осях координат отложить отрезки, равные единице измерения (мм, см и т.п.): еx = ey = ez = 1*, то аксонометрические проекции этих отрез-

ков ex′, ey′, еz′ называют аксонометрическими масштабами по соответствующим осям.

Аксонометрическая проекция называется прямоугольной (или ортого-

нальной), если направление проецирования перпендикулярно плоскости . При проецировании с наклоном к проекция называется косоугольной.

В зависимости от выбора положения аксонометрических осей и величин масштабов или коэффициентов искажения получается различная наглядность аксонометрических проекций. При прямоугольном проецировании для обеспечения наглядности нужно, чтобы ни одна из осей х, у и z не была ни перпендикулярна к плоскости проекций, ни параллельна ей. Следо-

вательно, все три оси координат должны пересекаться с плоскостью проекций . Точки пересечения обозначим буквами А, В, С (рис. 126). Эти точки являются вершинами треугольника АВС, а его стороны – линиями пересечения плоскости с координатными плоскостями xOy, xOz и yOz, т.е. будут следами плоскости на этих плоскостях. Поэтому треугольник АВС называется треугольником следов, который в случае прямоугольной аксонометрии всегда остроугольный.

Так как положение плоскости аксонометрических проекций и направление проецирования могут быть приняты произвольно, то взаимное положение аксонометрических осей и аксонометрические масштабы по ним

* На рис. 125 не показаны.

118

*Польке не доказал свою теорему. Она была обобщена и доказана в 1864 году немецким математиком Шварцем, а потому ее часто связывают с этими двумя именами.

**Доказательство этой зависимости приводится в ряде учебников начертательной геометрии, например, Н.С. Кузнецова.

висимостью (1), получим

§36. ВИДЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

Взависимости от соотношения коэффициентов искажений по осям различают три вида аксонометрических проекций: 1. Если все три коэф-

фициента искажения равны между собой (р = q = r), проекцию называют изометрической (изометрией). 2. Если равны какие-либо два коэффициен-

та искажения, а третий им не равен (обычно р = r q), то такая проекция называется диметрической (диметрией). 3. Если все три коэффициента искажения различны, то проекция называется триметрической (тримет-

рией). Этот вид аксонометрических проекций применяется весьма редко и поэтому здесь не рассматривается.

Практика отобрала наиболее удобные для использования и достаточно наглядные типы аксонометрических проекций.

Государственным стандартом установлено пять рассмотренных ниже видов аксонометрических проекций.

А. Прямоугольные проекции

1. Прямоугольная изометрическая проекция. Коэффициенты ис-

кажения в любом виде изометрии по всем трем осям одинаковы р = q = r,

потому, на основании соотношений (2) sin = sin = sin и = = (так как все эти углы – острые). Следовательно, в прямоугольной изометрии координатные оси х, у и z одинаково наклонены к направлению проециро-

вания и к плоскости проекций , а потому треугольник следов АВС будет равносторонним с центром тяжести в точке О′. Аксонометрические оси х′, у′ и z′, как всегда, пройдут через вершины треугольника следов и в данном случае расположатся под углами друг к другу, равными 120(рис. 127а).

Так как р = q = r, условие (3) можно для данного случая преобразо-

0,82. Для упрощения построения изометрии, коэффициенты искажения обычно принимают равными 1, тогда изображение получается увеличен-

1

ным в 0,82 = 1,22 раза в направлении каждой оси, но его наглядность от

120

новлена только одна, имеющая коэффициенты искажения, связанные за-

рекомендуется применять приведенные коэффициенты искажения по осям х′ и z′, равные единице, а по оси у′ – 0,5. Коэффициентом приведения в

осей установлено теоретически* и приведено на рис. 127б.

Оба вида аксонометрических проекций, рассмотренные в п. 1 и 2 настоящего параграфа, достаточно наглядны, но они обладают общим существенным недостатком: фигуры, заданные в любой из координатных плоскостей или в плоскостях им параллельных, проецируются на плоскость с искажением. Чтобы получить аксонометрическую проекцию одной из координатных плоскостей без искажения, нужно чтобы плоскость была параллельна этой координатной плоскости. При прямоугольном проецировании в таком случае одна из координатных осей спроецируется в точку и аксонометрическая проекция потеряет наглядность. В связи с этим прихо-

дится пользоваться косоугольным проецированием.

Б. Косоугольные проекции

1. Косоугольная фронтальная изометрическая проекция. В этом случае плоскость располагается параллельно координатной плоскости хОz; тогда аксонометрические оси х′ и z′ взаимно перпендикулярны и показатели искажения по этим осям равны единице, т.е. р = r = l.

Так как для косоугольной аксонометрии справедливо соотношение р2 + q2 + r2 = 2 + ctg2 , то учитывая, что р = r = l, получим q = ctg . Следовательно, показатель искажения q может быть любым. Изометрическая проекция должна иметь q = p = r = l, тогда q = ctg = 1 и угол наклона направления проецирования к плоскости равен = 45 . Положение аксонометрических осей приведено на рис. 127в. Угол между осями у′ и z′ допускается принимать равным 120 и 150 .

2. Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция. Этот вид проекции отличается от рассмотренного в предыдущем пункте тем,

* Доказательство см.: В.О. Гордон и М.А. Семенцов-Огиевский. Курс начертателной геометрии.

121

жения по всем трем осям одинаковы: р = q = r = l и угол = 45 , как и в предыдущем случае. Рекомендуемое положение аксонометрических осей приведено на рис. 127г. Угол между осями у′ и z′ допускается принимать равным 135 и 150 .

3. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция. Отличает-

ся от косоугольной фронтальной изометрической проекции только тем,

что коэффициент искажения q = 0,5. Коэффициенты искажения р = r = l.

Положение аксонометрических осей то же, что на рис. 127в. Угол между осями у′ и z′ допускается принимать равным 120 и 150 .

§37. ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИИ ФИГУРЫ ПО ЕЕ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПРОЕКЦИЯМ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

ПРИМЕР 54. Отрезок АВ задан ортогональными проекциями (рис. 128). Построить прямоугольную изометрию этого отрезка.

A2

Рис. 128

Решение. Отнесем отрезок АВ к прямоугольной системе координат Охуz и построим аксонометрические оси х′, у′ и z′ (рис. 128б). После этого построим вторичную проекцию А1 В1 отрезка АВ. Для этого отложим на

оси х′ отрезки О′Ах= ОАх, О′Вх= ОВх, и на оси у′ – отрезки О′Ау= ОАу и О′Ву= ОВу, являющиеся координатами точек А и В. Через точки Ахи Вх

проведем прямые, параллельные оси у′, а через точки Ауи Ву– параллельные оси х′. На пересечении этих прямых получим точки А1и В1– вторич-

122

ные проекции точек А и В. Отрезок А1 В1 является вторичной проекцией отрезка АВ.

Для построения аксонометрической проекции отрезка АВ через точки А1 и В1 проведем прямые, параллельные оси z′, на которых отложим отрезки А1 А′ = АхА2 и В1 В′ = ВхВ2. Отрезок А′В′ – аксонометрическая проекция отрезка АВ.

ПРИМЕР 55. Построить прямоугольную диметрическую проекцию окружности l, лежащей в плоскости хОу (рис. 129).

опишем квадрат А1В1С1D1 со сторонами А1В1 D1С1 х и А1D1 В1С1 у. Построим аксонометрические оси х′, у′ и z′ и аксонометрическую проек-

цию А1 В1 С1 D1этого квадрата с учетом приведенных коэффициентов искажения: р = r = 1 и q = 0,5 (рис. 129б). В таком случае, А1 В1 D1 С1= = А1В1 и В1 С1 А1 D1 = 0,5А1D1. Заданная окружность спроецируется в эллипс, вписанный в параллелограмм А1 В1 С1 D1 , причем точками касания являются середины сторон последнего. Большая ось этого эллипса располагается перпендикулярно оси z′ и с учетом коэффициента приведения равна 1,06 диаметра заданной окружности. Малая ось параллельна оси z′ и с учетом того же коэффициента приведения равна 0,35 диаметра окружности*.